The paper examines infinite systems in the Gaussian form. In this case the matrix of this system does not contain zero diagonal elements, and all the elements of the matrix below the diagonal are zero. The Gaussian infinite systems are convenient to solve by the method of simple reduction, which gives the solution in the form of Kramer formulas for Gaussian systems. This solution is called strictly particular solution. It is shown that the corresponding determinants of the general system and the determinants of the Gaussian system are equal. It follows that the solution of the general infinite system is expressed by the Kramer formula. It is proved that the trivial solution of the homogeneous infinite system is its strictly particular solution. Compatibility of infinite systems of linear algebraic equations is studied using the concept of the decrement of an infinite matrix and determinants. Some inconsistency criteria for infinite systems are found. Existence theorems are of Kronecker-Kapelli type for general infinite systems. The Kronecker-Kapelli theorem for finite systems is proved in an extended version in terms of matrix decrement. It is shown that the infinite system makes sense, when the following conditions are met: infinite determinants |A| and generated by the main matrix A and the extended matrix of the system, respectively, exist; the infinite minors and of respectively infinite determinants |A|, exist; only the permissible operators are applied to the matrices |A|,

Рассматриваются бесконечные системы в гауссовой форме. В этом случае матрица данной системы не содержит нулевых диагональных элементов, а все элементы матрицы ниже диагонали равны нулю. Гауссовы бесконечные системы удобно решать методом простой редукции, который дает решение в виде формулы Крамера для гауссовой системы. Это решение называется строго частным решением. Показано равенство соответствующих определителей общей системы с определителями гауссовой системы. Отсюда следует, что решение общей бесконечной системы также выражается формулой Крамера. Доказано, что тривиальное решение однородной бесконечной системы является ее строго частным решением. На основе понятия декремента бесконечных матриц и определителей изучена совместность бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Указаны некоторые критерии несовместности бесконечных систем. Теоремы о существовании решений относятся к теоремам типа Кронекера-Капелли для общих бесконечных систем. Доказана для конечных систем теорема Кронекера-Капелли в расширенном варианте в терминах понятия декремента матрицы. Показано, что бесконечная система имеет некоторый смысл, когда существуют бесконечные определители |A| и, порождаемые соответственно основной матрицей A системы и расширенной матрицей ; существуют бесконечные миноры и соответственно бесконечных определителей |A|, ; над матрицами A и осуществляются только допустимые действия.