Предложена математическая модель начальных перемещений корня зуба в линейно-упругой периодонтальной оболочке. Корень зуба является абсолютно твердым телом, его внешняя поверхность аппроксимируется двуполостным гиперболоидом. Использовано представление начальных перемещений через комбинацию поступательных перемещений и углов поворота. Предполагается, что полная деформация тканей периодонта по нормали к поверхности корня совпадает с шириной периодонтальной щели в этом направлении. Анализ различных типов начальных движений зуба выполнен на основании определения перемещения вдоль винтовой линии и уравнения оси винтовой линии. Рассмотрены наклонно-вращательное, вращательное и поступательное движения корня зуба. Визаулизация начальных смещений корня при наклонно-вращательном движении выполнена с учетом положения оси винтовой линии и траекторий движения отдельных точек корня. Для описания вращательного движения предложено использовать ось вращения. Показано, что корпусное смещение зуба можно осуществить при действии нагрузки, расположенной под углом к продольной оси корня зуба. Выполнен анализ влияния эксцентриситета эллипса в сечении корня и параметра, характеризующего закругление корня, на значение нагрузки, необходимой для заданного корпусного смещения зуба, а также на положение одного из центров сопротивления корня. Проведено сравнение координат центра сопротивления, найденных на основании математической и конечно-элементной моделей. Полученные результаты могут быть использованы для прогнозирования и визуализации начального смещения зубов, а также определения возникающего при этом напряженно-деформированного состояния и нахождения благоприятных для ортодонтического движения зубов величин нагрузки.A mathematical model for analysis of displacements of a tooth root in the linear elastic periodontal membrane was developed in this study. Tooth root was assumed as rigid solid body and its outer surface was modelled as hyperboloid of two sheets. The initial motion was expressed with a combination of translational displacement and rotational angle. The total strain of periodontal tissue normal to the surface of the root was assessed in conjunction with the width of the periodontal ligament in this direction. Analysis of different types of initial tooth movements was made on the basis of determination of displacements along the helix axis and according to the helix equation. Tipping, rotational and translational movements of the tooth root were considered in the analysis. Visualisation of the initial displacement of the root during tipping motion was carried out considering the position of the helix axis and the trajectories of individual points of the root. Description of the rotational motion was performed using the axis of rotation. It was shown that translational displacement of the tooth can be affected by the load acting with an angle to the longitudinal axis of the tooth root. The analysis of the influence of the ellipse eccentricity in the cross-section of the root and a parameter of the root roundness on the value of load required for a given displacement of the tooth, as well as on the position of a root's centre of resistance was carried out. Coordinates of the centre of resistance analysed with the developed mathematical model and those analysed with finite element modelling were compared. The results can be used to predict and visualise the displacements of teeth, as well as assessment of the stress-strain state of periodontal ligament, and finding optimum load for orthodontic tooth movement.