Статья посвящена анализу напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины в материале со степенным определяющим законом в условиях смешанного нагружения: при приложении к пластине с трещиной нормальной растягивающей и поперечной сдвиговой нагрузки. С помощью метода разложения по собственным функциям найдено напряженно-деформированное состояние вблизи вершины трещины в материале со степенными определяющими уравнениями в предположении реализации плоского напряженного состояния. Вид смешанного нагружения задается параметром смешанности нагружения, изменяющимся от нуля до единицы. Нулевое значение отвечает поперечному сдвигу, значение, равное единице, соответствует нормальному отрыву. Показано, что метод разложения по собственным функциям приводит к нелинейной задаче на собственные значения, численное решение которой получено для всех значений параметра смешанности нагружения и всех практически важных значений показателя нелинейности материала. Найдено, что смешанное нагружение пластины с дефектом приводит к изменению особенности поля напряжений вблизи кончика трещины, к решению, отличному от классического решения Хатчинсона Райса Розенгрена. Решение нелинейной задачи на собственные значения также получено с помощью метода возмущений (метода малого параметра), в рамках которого вводится малый параметр, представляющий собой разность между собственным значением, отвечающим нелинейной задаче, и собственным значением, соответствующим невозмущенной линейной задаче. Проведенный анализ ясно указывает на изменение особенности поля напряжений в непосредственной окрестности вершины трещины в условиях смешанного деформирования. Построены угловые распределения компонент тензора напряжений (собственные функции) в полном диапазоне значений параметра смешанности нагружения.

The paper is devoted to the stress-strain analysis near the crack tip in a power-law material under mixed-mode loading. In the paper by the use of the eigenfunction expansion method the stressstrain state near the crack tip under plane stress conditions is found. The type of the mixed mode loading is specified by the mixity parameter which is varying from 0 to 1. The value of the mixity parameter corresponding to Mode II crack loading is equal to 0 whereas the value corresponding to Mode I crack loading is equal to 1. It is shown that the eigenfunction expansion method results in the nonlinear eigenvalue problem. The numerical solution of the nonlinear eigenvalue problem for all the values of the mixity parameter and for all practically important values of the strain hardening (or creep) exponent is obtained. It is found that the mixed-mode loading of the cracked plate gives rise change of the stress singularity in the vicinity of the crack tip. The mixed mode loading of the cracked plate results in the new asymptotics of the stress-strain fields which is different from the classical Hutchinson Rice Rosengren stress field. The approximate solution of the nonlinear eigenvalue problem is either obtained by the perturbation theory technique (small parameter method). In the framework of the small parameter method the small parameter presenting the difference between the eigenvalue of the nonlinear problem and the undisturbed linear problem is introduced. The analysis carried out shows clearly that the stress singularity in the vicinity of the crack tip is changing under mixed-mode loading in the case of plane stress conditions. The angular distributions of the stress and strain components (eigenvalue functions) in the full range of values of the mixity parameter are given.