В статье \cite{GR} введено минимальное в некотором смысле условие слабой зависимости для стационарных последовательностей, обеспечивающее выполнение центральной предельной теоремы. В \cite{AG} аналогичные минимальные условия слабой зависимости получены для предельных теорем о сходимости к устойчивым распределениям, причем масштабная нормировка в этих теоремах такая же, что и в предельных теоремах для сумм независимых одинаково распределенных величин. В настоящей работе результаты из \cite{AG} распространены на предельные теоремы о сходимости к устойчивым распределениям порядка $0<\alpha<2$, в которых масштабная нормировка осуществляется произвольными, правильно меняющимися последовательностями порядка $1/\alpha$.