Изучается задача Коши для системы уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве с периодическими условиями по пространственным переменным. Заданные и искомые вектор-функции раскладываются в ряды Фурье по собственным функциям оператора ротор. Задача сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В рассматриваемом базисе она имеет простой вид. Составлены программы реконструкции систем Галеркина и численного решения задачи Коши. Рассчитаны некоторые модельные задачи. Результаты оформлены в виде графиков, дающих представление о движении потока жидкости. Исследована задача Коши для линейной однородной системы Стокса в шкале пространств Гильберта. Доказано, что оператор задачи реализует изоморфизм этих пространств. В общем случае, выписаны семейства явных глобальных решений нелинейной задачи Коши. Кроме того, указаны два пространства Гильберта, в каждом из которых последовательность аппроксимаций Галеркина ограничена.

The Cauchy problem for the 3D Navier-Stokes equations with periodical conditions on the spatial variables is investigated. The vector functions under consideration are decomposed in Fourier series with respect to eigenfunctions of the curl operator. The problem is reduced to the Cauchy problem for Galerkin systems of ordinary differential equations with a simple structure. The program of reconstruction for these systems and numerical solutions of the Cauchy problems are realized. Several model problems are solved. The results are represented in a graphic form which illustrates the flows of the liquid. The linear homogeneous Cauchy problem is investigated in Gilbert spaces. Operator of this problem realizes isomorphism of these spaces. For a general case, some families of exact global solutions of the nonlinear Cauchy problem are found. Moreover, two Gilbert spaces with limited sequences of Galerkin approximations are written out.