An iterative procedure for numerical integration of boundary-value problems for nonlinear ordinary differential equations of the second order of arbitrary structure is suggested. The initial differential equation by algebraic transformation can be written as a linear inhomogeneous differential equation of the second order with constant coefficients; the right part of which is represented as a linear combination of the derivatives of the required function up to the second order and a differential equation of arbitrary structure under study. Taylor polynomials were used in the construction of the difference boundary value problem. This allowed to abandon the approximation of derivatives by finite differences. The degree of Taylor polynomials can be chosen as any natural number greater than or equal to two. Obtained inhomogeneous linear differential equation has three arbitrary coefficients. It is shown that the coefficient at the initial differential equations of any structure on the right side of the obtained non-homogeneous linear differential equation is associated with the convergence of the iterative procedure; and the coefficients at the derivatives of the required function affect the stability of difference boundary value problem at each iteration. The values of coefficients at the derivatives of the required function which ensure the stability of difference boundary value problem regardless of the type of the initial equation are theoretically set up. Numerical experiment showed that the coefficient providing the convergence of the iterative procedure depends on the type of the initial differential equation. Numerical experiments showed that the increase in the degree of the Taylor polynomial reduces the error between the exact and the obtained approximate solutions.

Предложена итерационная процедура численного интегрирования краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка произвольной структуры. Исходное дифференциальное уравнение алгебраическими преобразованиями приведено к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого представлена в виде линейной комбинации производных искомой функции вплоть до второй степени и исследуемого дифференциального уравнения произвольной структуры. При построении разностной краевой задачи были использованы многочлены Тейлора, что позволило отказаться от аппроксимации производных конечными разностями. Степень многочленов Тейлора может быть выбрана равной любому натуральному числу, большему или равному двум. Построенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет три произвольных коэффициента. Показано, что коэффициент при исходном дифференциальном уравнении произвольной структуры в правой части полученного неоднородного линейного дифференциального уравнения связан со сходимостью итерационной процедуры, а коэффициенты при производных искомой функции влияют на устойчивость разностной краевой задачи на каждой итерации. Теоретически установлены значения коэффициентов при производных искомой функции, обеспечивающие устойчивость разностной краевой задачи независимо от вида исходного уравнения. При выполнении численного эксперимента выявлено, что коэффициент, обеспечивающий сходимость итерационной процедуры, зависит от вида исходного дифференциального уравнения. Численный эксперимент показал, что увеличение степени используемого многочлена Тейлора приводит к уменьшению погрешности между точным и найденным численным решениями.