Статья содержит доказательство того, что число комбинаторных размещений совпадает со свободными компонентами сумм взвешенных одинаковых степеней с натуральными основаниями и показателями при наличии простого равенства, связывающего элементы этих размещений. В доказательстве используется модифицированное описание компонентов, участвующих в образовании суммы взвешенных одинаковых степеней. Это описание упрощается и приводится к виду произведения биномиальных коэффициентов. Других вариантов построения соответствующего произведения биномиальных коэффициентов здесь не существует. Полученное доказательство позволяет как представлять число размещений в виде произведения, так и применять при этом представлении элементы суммирования. Таким образом, число размещений допускает собственное выражение не только в виде произведения его элементов.

The given paper contains the proof of that the number of combinatorial arrangements coincides with free components of the sums of equal powers with the natural bases and parameters in the presence of the simple equality connecting elements of these arrangements. In the proof the modified exposition of the components participating in formation of the sum of equal powers is used. This exposition becomes simpler and led to an aspect of product of binomial factors. Other variants of construction of corresponding product of binomial factors do not exist here. The received proof allows both to represent number of arrangements in the form of product, and to apply at this representation summation elements. Thus, the number of arrangements supposes characteristic expression not only in the form of product of its elements.