В статье рассмотрено одна из самых мощных итерационных схем для решения симметричных, положительно определенных линейных систем метод сопряженных градиентов с предварительными условиями. Во многих приложениях требуется решить ряд уравнений с одинаковой матрицей коэффициентов. Комбинация метода сопряженных градиентов с фильтром Чебышева, применяемого только к части матрицы коэффициентов, как предварительное условие, задает некоторые специфические свойства сходимости метода сопряженных градиентов. Матрица предварительного условия, имея большое количество собственных значений около единицы, не ухудшает распределение остальных. Эта процедура дает возможность создать базис Крылова меньшей размерности, который имеет наименьшие собственные значения и соответствующие собственные вектора. Главное преимущество этого метода в то, что полученные предварительные условия может быть использована для решения ряда систем с небольшими дополнительными затратами.

The article deals with one of the most powerful iterative schemes for solving symmetric positive definite linear systems conjugate gradient method with the preconditions. In many applications it is necessary to solve a series of equations with the same coefficient matrix. The combination of the conjugate gradient method with a polynomial Chebyshev filter applied to only part of the coefficient matrix, as a precondition, sets some specific properties of convergence of the conjugate gradient method. It is shown that the matrix precondition, having a large number of eigenvalues around unity, does not impair the remaining allocation. This procedure makes it possible to create a basis for the Krylov smaller dimension, which has the smallest eigenvalues and the corresponding eigenvectors. The main advantage of this method is that the resulting pre-conditions can be used for a number of systems with little additional cost.