В пространстве $L_{2,\alpha,\beta } \left(\mathbb T\right)$ на торе с периодическим весом Якоби $\left|\sin \frac{x}{2} \right|^{2\alpha +1} \left|\cos \frac{x}{2} \right|^{2\beta +1}, \alpha >\beta \ge -1/2 $, построена полная ортогональная система комплекснозначных тригонометрических полиномов, обобщающая на весовой случай систему экспонент. В пространствах $L_{p,\alpha,\beta } \left(\mathbb T\right), 1\le p\le \infty $, построены ограниченные операторы обобщенного сдвига, определены модули непрерывности. В пространстве $L_{2,\alpha,\beta } \left(\mathbb T\right)$ вычислены константы Джексона. При $\alpha =\beta >-1/2 $ эти результаты были получены ранее Д. В. Чертовой.