The asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions depending on the coefficients of the differential expression as well as the regularized trace formulas for the corresponding operators are highly relevant in the modern spectral theory of differential operators. In the case of the Sturm-Liouville operator with a continuously differentiable potential the basic results were obtained by I.M. Gelfand and B.M. Levitan in 1953. Later, in the works of L.A. Dikiy, V.A. Sadovnichiy, V.B. Lidskiy, V.A. Marchenko and other mathematicians, these results were extended for the case of the higher orders differential operators and partial differential operators. A.A. Shkalikov and A.M. Savchuk first considered similar issues in 1999-2003 for the Sturm-Liouville operator with a singular potential, which was not locally integrable function, and Dirichlet boundary conditions on a finite interval. In the relatively recent works of A.G. Kostyuchenko and S.R. Ismagilov (2007-2008) the leading term of the asymptotics of the counting function for the self-adjoint extensions of the Sturm-Liouville vector operator generated by the expression l[y] = -y′′(x) + Q(x)y(x) in the space L22(R+) was obtained, where Q(x) a real symmetric square matrix of the second order. This paper is devoted to finding the transcendental equations for the eigenvalues of the self-adjoint operator generated by the expression with a singular potential. The further analysis of received equations allows us to obtain the asymptotics of the eigenvalues and the first order regularized trace formula for these operators.

Вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций в зависимости от коэффициентов дифференциального выражения, а также о получении формул регуляризованного следа для соответствующих операторов являются весьма актуальными в современной спектральной теории дифференциальных операторов. В случае оператора Штурма-Лиувилля с непрерывно-дифференцируемым потенциалом основные результаты были получены И.М. Гельфандом и Б.М. Левитаном в работе 1953 года. Позднее в работах Л.А. Дикого, В.А. Садовничего, В.Б. Лидского, В.А. Марченко и других математиков эти результаты были обобщены на случай дифференциальных операторов высших порядков и операторов в частных производных. Для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом, не являющимся локально интегрируемой функцией, и краевых условий Дирихле на конечном интервале аналогичные вопросы впервые были рассмотрены А.А. Шкаликовым и А.М. Савчуком в работах 1999-2003 годов. В сравнительно недавних работах А.Г. Костюченко и С.Р. Исмагилова (2007-2008 годы) был получен главный член асимптотики считающей функции для самосопряженных расширений векторного оператора Штурма-Лиувилля, порожденного выражением l[y] = -y′′(x) + Q(x)y(x) в пространстве L22(R+), где Q(x) вещественная симметрическая квадратная матрица второго порядка. Данная работа посвящена нахождению трансцендентных уравнений для собственных значений самосопряженного оператора с сингулярным потенциалом. Дальнейший анализ полученных уравнений позволяет найти асимптотику собственных значений и формулу регуляризованного следа первого порядка рассмотренных операторов.