В настоящей работе, применяя теорию топологической степени уплотняющих многозначных отображений, доказывается существование решения и компактность множества всех решений задачи Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с бесконечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве. Статья состоит из введения и трёх параграфов. Во введении обосновывается актуальность данной проблематики, излагается история вопроса и приводятся ссылки на статьи и монографии, в которых читатель может найти приложения теории функционально-дифференциальных включений и уравнений дробного порядка. Во втором параграфе описывается постановка задачи, вводится пространство, в котором рассматривается данная задача и даётся критерий относительной компактности множества во введённом пространстве. Третий параграф состоит из четырёх подпунктов, в которых приводятся предварительные сведения. В первом подпункте даются понятия дробной производной и дробной первообразной. Во втором подпункте приводятся необходимые сведения из теории многозначных отображений. Третий подпункт посвящён сведениям из теории измеримых мультифункций. В четвёртом подпункте приводится формулировка модифицированного фазового пространства введённого Хейлом и Като. В последнем параграфе формулируются условия, которые мы накладываем на элементы, входящие в состав исходного включения, и на основе вспомогательных утверждений доказывается основной результат работы.

In this paper, applying the theory of topological degree of condensing multi-valued mappings, we prove the existence of solution and the compactness of the set of solutions of the Cauchy problem for a semilinear functional differential inclusion of fractional order with infinite delay and impulse responses in a Banach space. The article consists of an introduction and three sections. In the introduction the urgency of this problem, outlines the background and provides links to articles and monographs in which the reader can find the applications of the theory of functional differential equations and inclusions of fractional order. In the second section we describe the formulation of the problem, we introduce the space, which addresses this problem and give a criterion for the relative compactness of the set in the input space. The third section consists of four sub-items, which provide preliminary information. In the first subparagraph the concept of fractional derivative and fractional primitive is given. Second paragraph provides the necessary information from the theory of multi-valued mappings. The third sub-paragraph is devoted to information from the theory of measurable multifunctions. In the fourth paragraph we formulate a modified phase space entered by Hale and Kato. In the last section we formulate conditions that we impose on the elements included in the original inclusion and on the basis of auxiliary statements prove our main result.