Рассматривается класс пропозициональных нормальных модальных логик. Двумя основными понятиями, относящимися к этому классу и исследуемыми в статье, являются финитная аппроксимируемость и константные формулы. Пропозициональная нормальная модальная логика называется финитно аппроксимируемой, если ее можно задать как множество формул, истинных в конечных шкалах из некоторой совокупности. Все «естественные» нормальные модальные логики оказались финитно аппроксимируемыми. В 60-е годы было замечено, что в некоторых случаях при добавлении к аксиоматике константной аксиомы сохраняется полнота по Крипке и тем самым финитная аппроксимируемость. Заметим (фольклор), что с помощью теоремы о дедукции можно показать, что здесь в качестве логики можно взять минимальную нормальную модальную пропозициональную логику K. Под константной формулой понимается формула, при построении которой не используются переменные, то есть элементарной формулой является только константа ? (ложь). (Заметим, что в случае отсутствия в языке константы можно считать константной формулой такую формулу, которая эквивалентна любому своему подстановочному примеру; такова, скажем, формула p?&p.) Основным результатом статьи является определение финитно аппроксимируемой нормальной модальной пропозициональной логики L и константной формулы ?, таких что результат добавления к L аксиомы ? не является финитно аппроксимируемой логикой. Статья заканчивается кратким перечнем открытых проблем.

We consider the class of propositional normal modal logics. The two main concepts related to this class and analyzed in the paper are the finite model property and constant formula. A propositional normal modal logic has the finite model property, if it can defined as the set of formulas true in frames of some set. All “natural” propositional normal modal logics turned out to have the finite model property. In the 60 years it has been observed that in some cases adding to the axiomatics constant axiom remains Kripke completeness, and hence the finite model property. Note (folklore) that using the deduction theorem it can be shown that here as logic can take the minimal normal modal propositional logic K. Under constant formula, the constraction of which does not use variables, that is, the basic formula is the constant ? (false). (Note that in the absence in language the constant can be considered constant formula is a formula that is equivalent to any of substitutional instant; that is, say, the formula p?&p.) The main result of the paper is the definition of a normal modal propositional logic L and a constant formula ?, such that the result of adding to the logic L axiom ? does not have the finite model property. The paper concludes with a short list of open problems.