We have constructed an explicit local-cubic spline for the approximation of the smooth functions and have studied the behavior of the approximation. To solve numerically boundary value problems, a spline-scheme based on the properties of the local-cubic spline and the standard cubic spline collocation is proposed. The scheme is implemented by sequentially solving two tridiagonal systems, which allow to use the three-point sweep method and differ from each other only by matrix of the right-hand side of the equation. It indicates that this algorithm is efficient. The number of operations depends linearly on the number of grid nodes. It is proved that the constructed spline possesses the same approximation properties as the local-cubic spline. Thus, in this paper we actually considered the approximation of the solutions of the boundary value problems. The proposed scheme also allows to find the first and second derivatives of the solution of the boundary value problem on the uniform grid nodes of the fourth-order accuracy with respect to the step-size of the grid. The numerical experiments confirm the theoretical order of convergence. Due to good approximation properties and the simplicity of the algorithm implementation, the proposed method can be applied to solve numerically the boundary value problems for the second order ordinary differential equations, which often occur in mathematics, physics, and in the field of natural and engineering sciences.

Построен явный локально-кубический сплайн для аппроксимации гладких функций и рассмотрены его аппроксимативные свойства. Предложена сплайн-схема для численного решения краевых задач, основанная на свойствах локально-кубического сплайна и обычного коллокационного кубического сплайна. Схема реализуется путём последовательного решения двух трёхдиагональных систем, отличающихся друг от друга лишь правой частью, что позволяет использовать метод трёхточечной прогонки. Это свидетельствует о том, что данный алгоритм является эффективным, количество операций линейно зависит от числа узлов сетки. Доказано, что построенный сплайн обладает такими же аппроксимативными свойствами, что и локально-кубический сплайн. Таким образом, в данной работе фактически рассматриваются вопросы аппроксимации решений краевых задач. Предложенная схема позволяет найти решение краевой задачи и его первую и вторую производные в узлах равномерной сетки с точностью четвёртого порядка по шагу сетки. Теоретические выводы подтверждены численными экспериментами. Благодаря хорошим аппроксимативным свойствам и простоте алгоритма реализации предложенный метод может быть применён для численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые часто встречаются как в математике, физике, так и в области естественных и инженерных наук.