Гребенщиков Борис Георгиевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, кафедра математического и компьютерного моделирования, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, e-mail: grebenshchikovbg@susu.ru Загребина Софья Александровна – доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического и компьютерного моделирования, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация, e-mail: zagrebinasa@susu.ru Ложников Андрей Борисович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, отдел дифференциальных уравнений, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН; доцент, кафедра прикладной математики, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, e-mail: ABLozhnikov@yandex.ru Grebenshchikov Boris Georgievich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Senior Researcher, Department of Mathematical and Computer Modeling, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, e-mail: grebenshchikovbg@susu.ru Zagrebina Sophiya Alexandrovna is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor Department of Mathematical and Computer Modeling, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, e-mail: zagrebinasa@susu.ru Lozhnikov Andrey Borisovich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Senior Researcher, Department of Differential Equations, N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Ural Federal University, Yekaterinburg, Russian Federation, e-mail: ABLozhnikov@yandex.ru Рассматриваются возможности применения некоторых модифицированных численных методов для уравнений с запаздыванием, линейно зависящим от времени (аргумента). Поскольку запаздывание неограниченно возрастает, требуется применять также некоторые асимптотические методы при анализе поведения решения таких систем. В статье будут установлены асимптотические свойства исследуемых систем, существенно влияющих на точность численного подсчета. Именно, ввиду неограниченности запаздывания, в случае неустойчивости решения систем с запаздыванием для выяснения свойств решения подобных систем полезно знать асимптотические свойства производных, имеющих порядок больше единицы. Зачастую (при условиях, сформулированных в статье) данные производные стремятся к нулю при неограниченном увеличении времени. Это свойство позволяет достаточно эффективно применять некоторые численные методы конечного порядка (метод Рунге–Кутты, модифицированный метод Эйлера с пересчетом и т. д.). В качестве иллюстрации эффективности разработанных методов в статье будет показано применение некоторых модифицированных методов численного счета для изучения процесса вертикальных колебаний полоза токоприемника, движущегося с постоянной скоростью локомотива при взаимодействии с контактным проводом при наличии эластичного закрепления на опоре. Численные методы, изложенные в статье, позволяют исследовать асимптотическое поведение и более сложных систем, содержащих как постоянное, так и линейное запаздывание. Отметим, что применение численных методов для подсчета решения зачастую позволяет выявить не только неустойчивость решения исследуемых систем, но и может быть использовано при стабилизации некоторых систем, содержащих неограниченное (не обязательно линейное) запаздывание. This paper considers the application of modified numerical methods for solving differential equations with a delay which linearly depends on time. Since the delay increases indefinitely, it is also necessary to apply asymptotic methods to analyze the behavior of the solutions of such systems. The paper establishes the asymptotic properties of the systems under study, which significantly affect the accuracy of the numerical calculation. Given the unbounded delay and the instability of the solutions and to clarify the properties of the solution of such systems, it is useful to know the asymptotic properties of the derivatives having an order greater than one. Under the conditions formulated in the article, these derivatives tend to zero as t→∞. This property makes it possible to apply finite-order numerical methods (such as the Runge–Kutta method and the modified Euler method). As an illustration of the effectiveness of the methods developed, the article calculates the vertical oscillations of a locomotive pantograph moving at a constant speed when interacting with the contact wire. The numerical methods allow the study of the asymptotic behavior of more complex systems containing both constant and linear delay. Note that the use of numerical methods for calculating the solution reveal the instability of the solution of the systems under study and can be used to stabilize some systems containing an unlimited (not necessarily linear) delay.