Работа посвящена исследованию разрешимости начально-конечной задачи, разрешимости задачи оптимального управления решениями начально-конечной задачи и задачи Шоуолтера–Сидорова для линейной математической модели Буссинеска–Лява. Начально-конечные условия являются обобщением условий Шоуолтера–Сидорова, которые в свою очередь являются обобщением условий Коши. Как известно, задача Коши для уравнений соболевского типа является принципиально неразрешимой при произвольных начальных значениях. В работе применяется метод фазового пространства, разработанный Г.А. Свиридюком, теория относительно полиномиально ограниченных пучков операторов, разработанная А.А. Замышляевой.