Статья продолжает исследование А. V. Arutyunov, Е. S. Zhukovskiy, S. Е. Zhukovskiy (Topology and its Applications. 2015. V. 179. №1) накрывающих отображений, действующих в частично упорядоченных пространствах. В статье определено понятие множества упорядоченного накрывания, исследовано множество упорядоченного накрывания оператора Немыцкого в пространстве измеримых существенно ограниченных функций. Рассмотрено уравнение ф(х, х) = у с антитонным по второму аргументу отображением ф. В терминах свойств множества упорядоченного накрывания отображения ф по первому аргументу получена теорема о существовании решений, их оценках, о существовании нижнего решения. Перечисленные результаты применены к неявному интегральному уравнению, получены утверждения об интегральных неравенствах типа теоремы Чаплыгина.