Пусть $P, Q$ -- идемпотенты в гильбертовом пространстве, $Q=Q^*$. 1) Если оператор $U=P-Q$ -- изометрия, то $U=U^*$ унитарен и $Q=P^{\perp}$. 2) Если еще $P=P^*$, то $$ P\wedge Q^{\perp}+ P^{\perp}\wedge Q\leq |P-Q| \leq P\vee Q- P\wedge Q \eqno{(*)} $$ с равенством во втором из неравенств тогда и только тогда, когда $PQ=QP$. С помощью $(*)$ установлено новое неравенство, характеризующее следы на $W^*$-алгебре. Получены приложения неравенства $(*)$ к идеальным $F$-псевдонормам на $W^*$-алгебре. Пусть $\varphi$ -- след на унитальной $C^*$-алгебре $\mathcal{A}$, $ \mathfrak{M}_{\varphi}$ -- идеал определения следа $\varphi$ и трипотенты $P, Q \in \mathcal{A}$. Если $P-Q\in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $\varphi (P-Q)\in \mathbb{R}$. Установлена перестановочность некоторых операторов.