Данная работа посвящена фундаментальной проблеме исследования разрешимости начальнокраевой задачи для квазилинейного псевдогиперболического уравнения (называемых также уравнениями соболевского типа) с достаточно гладкой границей. В представленной работе исследуется начально-краевая задача для квазилинейного уравнения псевдогиперболического типа с нелинейным граничным условием Неймана-Дирихле. В статье с помощью метода Галеркина доказывается существование слабого решения квазилинейного псевдогиперболического уравнения в ограниченной области. С использованием теорем вложения Соболева, получены априорные оценки решения. Применение Галеркинских приближений позволяет получить оценку сверх времени существования решения. Доказана локальная теорема о существовании слабого обобщенного решения. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемой краевой задачи используются априорные оценки и теорема Реллиха-Кондрашова. Единственность слабого обобщенного решения начально-краевой задачи квазилинейного уравнения псевдогиперболического типа доказывается на основе полученных априорных оценок и применения леммы Гронуолла-Беллмана. Необходимость рассмотрения и изучения такого рода начально-каевых задач для квазилинейного псевдогиперболического уравнения вытекает из практических потребностей. К примеру, при решении дифференциальных уравнений, моделирующих физические процессы, важно, чтобы было хорошее соответствие между выбранной моделью и реальным объектом.