Les fonctions de base radiales (RBF) ont gagné en popularité récemment dans le développement de méthodes de résolution numérique des équations aux dérivées partielles (PDE). Ces fonctions sont devenues un outil extrêmement efficace pour l'interpolation sur des ensembles de nœuds dispersés dans plusieurs dimensions. Un problème clé avec les RBF infiniment lisses est le choix d'une valeur appropriée pour le paramètre de forme ε, qui contrôle la planéité de la fonction. On observe que la meilleure précision est souvent obtenue lorsque ε tend vers zéro. Cependant, le système d'équations discrètes à partir de matrices d'interpolation devient mal conditionné. Quelques algorithmes numériques ont été présentés qui sont capables de calculer de manière stable une interpolante, même dans la limite de la fonction de base de plus en plus plate, comme la méthode RBF-QR et la méthode RBF-GA. Nous présentons ces techniques dans le contexte des méthodes intégrales aux limites pour améliorer la solution des EDP avec RBF. Ces calculs stables ouvrent de nouvelles opportunités pour les applications et les développements de méthodes intégrales locales basées sur des approximations RBF locales. Des résultats numériques pour un petit paramètre de forme qui stabilise l'erreur sont présentés. La précision et les comparaisons sont également présentées pour les EDP elliptiques.

Las funciones de base radial (RBF) han ido ganando popularidad recientemente en el desarrollo de métodos para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE) numéricamente. Estas funciones se han convertido en una herramienta extremadamente efectiva para la interpolación en conjuntos de nodos dispersos en varias dimensiones. Un problema clave con RBF infinitamente suaves es la elección de un valor adecuado para el parámetro de forma ε, que controla la planitud de la función. Se observa que la mejor precisión a menudo se logra cuando ε tiende a cero. Sin embargo, el sistema de ecuaciones discretas a partir de matrices de interpolación se vuelve mal condicionado. Se han presentado algunos algoritmos numéricos que son capaces de calcular de manera estable un interpolante, incluso en el límite de función de base cada vez más plano, como el método RBF-QR y el método RBF-GA. Presentamos estas técnicas en el contexto de métodos integrales de límite para mejorar la solución de PDE con RBF. Estos cálculos estables abren nuevas oportunidades para aplicaciones y desarrollos de métodos integrales locales basados en aproximaciones locales de RBF. Se presentan resultados numéricos para un parámetro de forma pequeña que estabiliza el error. También se muestran la precisión y las comparaciones para PDE elípticas.

Radial basis functions (RBFs) have been gaining popularity recently in the development of methods for solving partial differential equations (PDEs) numerically.These functions have become an extremely effective tool for interpolation on scattered node sets in several dimensions.One key issue with infinitely smooth RBFs is the choice of a suitable value for the shape parameter ε, which controls the flatness of the function.It is observed that best accuracy is often achieved when ε tends to zero.However, the system of discrete equations from interpolation matrices becomes ill-conditioned.A few numerical algorithms have been presented that are able to stably compute an interpolant, even in the increasingly flat basis function limit, such as the RBF-QR method and the RBF-GA method.We present these techniques in the context of boundary integral methods to improve the solution of PDEs with RBFs.These stable calculations open up new opportunities for applications and developments of local integral methods based on local RBF approximations.Numerical results for a small shape parameter that stabilizes the error are presented.Accuracy and comparisons are also shown for elliptic PDEs.

اكتسبت وظائف الأساس الشعاعي (RBFs) شعبية مؤخرًا في تطوير طرق لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) عدديًا. أصبحت هذه الوظائف أداة فعالة للغاية للاستيفاء على مجموعات العقد المتناثرة بعدة أبعاد. تتمثل إحدى المشكلات الرئيسية في RBFs السلسة إلى ما لا نهاية في اختيار قيمة مناسبة لمعلمة الشكل ε، التي تتحكم في استواء الوظيفة. لوحظ أن أفضل دقة تتحقق غالبًا عندما تميل ε إلى الصفر. ومع ذلك، يصبح نظام المعادلات المنفصلة من مصفوفات الاستقراء غير مشروط. تم تقديم عدد قليل من الخوارزميات العددية القادرة على حساب الاستقراء بشكل ثابت، حتى في حد دالة الأساس المسطح بشكل متزايد، مثل طريقة RBF - QR وطريقة RBF - GA. نقدم هذه التقنيات في سياق طرق تكامل الحدود لتحسين حل PDEs مع RBFs. تفتح هذه الحسابات المستقرة فرصًا جديدة لتطبيقات وتطويرات طرق التكامل المحلية بناءً على تقريبات RBF المحلية. يتم عرض النتائج العددية لمعلمة شكل صغيرة تعمل على استقرار الخطأ. كما يتم عرض الدقة والمقارنات لـ PDEs الإهليلجية.