Процеси прикладних задач досить часто моделюються диференціальними, інтегральними та інтегро-диференціальними рівняннями, нерівностями і включеннями з відповідними початковими і граничними умовами, визначеними середовищем.Функціональні моделі, де невідома функція і/або її похідні мають нелінійні залежності, часто адекватно описують процеси досліджуваних об'єктів.Різноманітність математичних моделей нелінійної залежності вимагає особливого наукового підходу до їх дослідження і методів знаходження вирішення завдань. У додатках для адекватного перебігу процесу виникає необхідність враховувати реальні обставини по суті різновидів нелінійної залежності.Досліджені питання, пов’язані з розв’язанням квазілінійних диференціальних рівнянь. Припущено, що відповідне лінійне однорідне рівняння відносно заданого квазілінійного рівняння не має ненульових розв’язків, що задовольняють початково-граничним умовам. При цьому застосуванням функції Гріна знаходження розв’язку квазілінійного рівняння приводиться до розв’язку інтегрального або інтегро-диференціального рівняння.У статті доведено теорему про достатню умову застосовності принципу стискаючого відображення у просторі , , з приведенням до нелінійного інтегрального рівняння з використанням функції Гріна для пошуку розв’язку задачі з початковою та/або граничною умовами квазілінійного звичайного диференціального рівняння. Способом, наведеним у доведенні теореми, за початковою умовою визначається , далі у аналогічному порядку відшукується послідовність функцій, що надає можливість наближення до розв’язку задачі з бажаною точністю. Доведена теорема та інші супутні результати можуть застосовуватись для дослідження і пошуку розв’язків практичних задач. Це дозволяє отримувати досить широке застосування теореми, наприклад, при підвищенні точності роботи автоматичних контрольно-вимірювальних приладів.

Processes of applied problems are often modeled by differential, integral and integro-differential equations, inequalities and inclusions with corresponding initial and boundary conditions determined by the environment.Functional models, where the unknown function and / or its derivatives have nonlinear dependences, often adequately describe the processes of the objects under study.The variety of mathematical models of nonlinear dependence requires a special scientific approach to their study and methods for finding solutions to problems. In applications, for an adequate course of the process, it becomes necessary to take into account the real circumstances in the essence of the varieties of nonlinear dependence.The questions investigated are related to the quasilinear differential equations solution.The theorem on the sufficient condition for the applicability of the principle of contraction mappings in space , , with reduction to a nonlinear integral equation, using the Green's function, to find the solution of the initial-boundary conditions of quasi-linear ordinary differential equations. The way is given in the proof of the theorem using the initial condition is determined, then with the same procedure of finding a sequence of functions , enables the approach to solving the problem with the desired accuracy. The above theorem and other as a byproduct, the results can be applied to research and find practical solutions of problems.This makes it possible to obtain a fairly wide application of the theorem, for example, when increasing the accuracy of the operation of automatic control and measuring devices.

В статье приведены результаты доказательства теоремы о достаточном условии применимости принципа сжимающего отображения в пространстве , , с приведением к нелинейному интегральному уравнению, пользуясь функцией Грина, для нахождения решения задачи с начальным и/или граничным условиями квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения. Способом, приведённым в доказательстве теоремы, пользуясь начальным условием , определяется , далее с таким же порядком нахождения последовательность функций, даёт возможность приближения к решению задачи с желаемой точностью. Доказанная теорема и другие сопутствующие результаты могут применяться для исследования и нахождения решений практических задач.