A broad class of steady-state physical problems can be reduced to finding the harmonic functions that satisfy certain boundary conditions. The Dirichlet problem for the Laplace ( and Poisson) equations is one of the these mentioned problems.In this study presents two alternative methods for the square domain of the Dirichlet problem.The first one is to specify the analytic function which transforms the D square domain into unit circle on w plane with an approximate conformal mapping and establishing a connection between this mapping function and Green function, the solution of Dirichlet problem for square domain is based upon eliptic functions. To do this, it is made use of the basic consepts associated with dirichlet problem, elliptic function, elliptic integrals, conform mappings and green functions. Secondly, The problem in square domain is extended to Bernstein series and an approximate solution is attained. For this reason, the approximate solution function of the problem is written in matris form and the problem is based upon Bernstein polynomial.Keywords: Bernstein collocation method, Bernstein polynomials, Dirichlet problem, Elliptic functions, Elliptic integral, Green function, error analysis of collocation method

Kararlı hal fiziksel problemlerin geniş bir sınıfı belirli sınır koşulları sağlayan harmonik fonksiyonları bulmaya indirgenebilir. Laplace (ve Poisson) denklemi için Dirichlet problemi bahsedilen problemlerden biridir. Bu çalışmada kare bölge için Dirichlet Problemine alternatif iki metot sunulmuştur. Bunlardan birincisi; D kare bölgeyi, uygun bir konform dönüşümle w-düzlemindeki birim çembere dönüştüren analitik fonksiyonu belirlemek ve bu dönüşüm fonksiyonu ile Green fonksiyonu arasında bağlantı kurarak, kare bölge için Dirichlet probleminin çözümünü eliptik fonksiyonlara dayandırmaktır. Bunlar yapılırken; Dirichlet problemi, eliptik fonksiyonlar, eliptik integraller, Green fonksiyonu, konform dönüşüm kavramlarından yararlanılmıştır. İkincisi ise, kare bölgede problem Bernstein serisine açılarak yaklaşık çözüm elde etmektir. Bunun için de problemin Bernstein yaklaşık çözüm fonksiyonu matris formunda yazılır ve problem Bernstein polinomuna dayandırılır.Anahtar Kelimeler: Bernstein kollakasyon metot, Bernstein polinomları, Dirichlet problemi, Eliptik fonksiyon, Eliptik integral, Green fonksiyonu, Kollokasyon metodunun hata analizi.

39