En esta tesis presentamos las propiedades principales de las superficies modulares de Hilbert y las formas modulares asociadas. La más remarcable es que pueden ser vistas como variedades modulares asociadas al grupo ortogonal de un espacio cuadrático de tipo (2,2). Esta propiedad nos da una fuente de formas modulares, que estudiaremos, poniendo especial énfasis en el Borcherds lift y el Doi-Naganuma lift. Una vez hayamos establecido los fundamentos de las superficies modulares de Hilbert, introduciremos la teoría de la Multiplicación Compleja, empezando por algunos hechos básicos en el caso de curvas elípticas que nos servirá como introducción para el caso de Multiplicación Compleja para superficies modulares de Hilbert. Mostraremos cómo obtener los llamados puntos CM en la superficie modular de Hilbert y cómo evaluar el Borcherds lift en esos puntos. También veremos que esos valores son números algebraicos pertenecientes a unos cuerpos concretos y que cuando evaluamos una función modular en todo el ciclo CM obtenemos números racionales con muchos factores primos. Damos varios ejemplos de los cálculos numéricos realizados con SageMath para respaldar los resultados teóricos.

En aquesta tesi presentem les propietats principals de les superfícies modulars de Hilbert i les formes modulars associades. La més remarcable és que poden ser vistes com a varietats modulars associades al grup ortogonal d'un espai quadràtic de tipus (2,2). Aquesta propietat dona una font de formes modulars, que estudiarem, posant un especial èmfasi al Borcherds lift i el Doi-Naganuma lift. Una vegada els fonaments per les superfícies modulars de Hilbert hagin estat establerts, introduirem la teoria de la Multiplicació Complexa, començant per alguns fets bàsics en el cas de corbes el·líptiques que servirà com a introducció per al cas de Multiplicació Complexa per a superfícies modulars de Hilbert. Mostrarem com obtenir els anomenats punts CM a la superfície modular de Hilbert i com avaluar el Borcherds lift en aquests punts. També veurem que aquests valors són nombres algebraics que pertanyen a cossos concrets i que quan avaluem una funció modular en tot un cicle CM obtenim nombres racionals amb múltiples factors primers. Donem diversos exemples de càlculs numèrics fets amb SageMath per confirmar els resultats teòrics.

In this thesis we present the main properties of Hilbert modular surfaces and their associated modular forms. The most remarkable one is that they can be viewed as modular varieties associated to the orthogonal group of a quadratic space of type (2,2). This property provides a source of modular forms, which we will study, with a special focus on the so-called Borcherds lift and the Doi-Naganuma lift. Once the foundations of Hilbert modular surfaces and modular forms are established, we introduce the theory of Complex Multiplication, starting with some basic facts for elliptic curves that will serve as an introduction to the Theory of Complex Multiplication for Hilbert modular surfaces. We will show how to obtain the so-called CM points on the Hilbert Modular surface and how to evaluate Borcherds lifts on them. We will also see that those values are nice algebraic numbers in some concrete fields and that when we evaluate our modular function on a full CM cycle we get rational numbers with several prime factors. We provide several examples of those numerical computations on SageMath to support the theoretical results.

Outgoing