Les inégalités fonctionnelles, telles les inégalités de Sobolev, de Poincaré (trou spectral) ou l'inégalité de Gross (Sobolev logarithmique) se sont développées ces vingt dernières années de manière fulgurante. Leur efficacité, que ce soit pour établir des phénomènes de concentration de la mesure et d'isopérimétrie ou pour étudier le comportement en temps long d'équations différentielles stochastiques ou d'équations aux dérivées partielles au travers de l'évolution d'entropies associées, les place au confluent des intér�ts de nombreux analystes et probabilistes. Ce projet réunit des représentants de ces deux communautés. Notre but est de poursuivre l'étude théorique de ces inégalités ainsi que celles de leurs développements récents (inégalités de transport, Poincaré faible, F-Sobolev, Beckner généralisées) et leurs applications. On cherchera à obtenir des critères pour ces inégalités (capacité mesure, Hardy, Gamma2). La clarification de leurs relations est un domaine extremement actif qui soulèvent de nombreux problèmes encore largement ouverts. Sans nul doute, une meilleure compréhension de ces liens permettra d'accro�tre l'efficacité des applications de ces inégalités. La notion d'entropie se retrouve dans la plupart des problèmes en lien avec les inégalités fonctionnelles. Elle peut etre une fonction de taux d'un principe de grandes déviations (théorème de Sanov) ou alors sa décroissance permet de quantifier la convergence vers l'équilibre d'une EDP non-linéaire. Elle apparait donc comme une connexion naturelle entre les théories des probabilités et des EDPs associées à ces problèmes. Un des buts de ce projet est d'explorer ces connexions pour essayer de dégager des principes plus généraux. Jusqu'à présent peu de résultats ont été obtenus pour les inégalités fonctionnelles en dimension infinie. Ces situations sont naturelles dans le cadre de la mécanique statistique (systèmes de spins) ou de la théorie des champs (espaces de chemins, lacets). Les représentations probabilistes permettent d'aborder de fa�on naturelle certaines de ces questions de physique théorique. L'impact des inégalités de transport et des inégalités affaiblies dans ce type de situation n'a encore été que très peu étudié. Nous souhaitons également approfondir l'étude des applications des inégalités fonctionnelles dans des domaines divers allant de la physique à la biologie : stabilisation d'équation de milieu granulaire (thermalisation, approximation numérique), milieu poreux, équation de films minces (équations d'ordre 4), transition de phase en mécanique statistique, inégalités sur les espaces de chemins, dynamique de population, matrices aléatoires. Les membres de ce projet participent déjà activement à la recherche sur les inégalités fonctionnelles. Bien que venant de différents domaines des mathématiques appliquées et porteurs de cultures variées, ils ont déjà pour la plupart l'habitude de se comprendre et de collaborer. Le but d'une telle équipe, déjà opérationnelle, est d'obtenir rapidement des résultats significatifs dans un domaine actuellement central en mathématiques appliquées. Dans un contexte de forte compétition internationale, nous pensons qu'un groupe bien organisé, fort de collaborations internationales de haut niveau et couvrant un domaine large des mathématiques appliquées est en mesure de produire des résultats théoriques significatifs et de les appliquer de fa�on innovante à d'autres domaines des sciences.

Attention allows us to explore the environment and to effectively respond to external events. Attention sets priorities on the basis of our goals and of the salience of external stimuli. Human visual attention relies on distinct dorsal and ventral fronto-parietal networks, but little is known about their dynamics, because hitherto our knowledge mostly depends on fMRI, which has limited temporal resolution. BRANDY aims at building an anatomo-functional model of human visual attention. Specifically, BRANDY has three main objectives: Work Package (WP) 1 will determine the precise dynamics of normal visual attention on a fine-scale; WP2 will provide important evidence on neurotypical and impaired attention in neglect patients using a network-perspective. WP3 will build comprehensive anatomical and functional models of neurotypical and pathological human visual attention. WP1 will employ intracerebral recordings, a method with unrivalled spatial and temporal resolution for the human brain, during the performance of attention tasks. We shall recruit patients with drug-refractory epilepsy, who are implanted with depth electrodes in preparation for surgical treatment. Time windows showing epileptic activity will be excluded from analysis, in order to obtain the best possible approximation to normal attention. The attention networks will be identified in each patient by using resting state MRI and advanced white matter tractography. The results will pinpoint the neural populations supporting different aspects of attention within each network, discern their temporal behavior and reveal the neurotypical dynamics of the interaction between the two networks. They will also guide the analyses of WP2. WP2 will focus on the function and dynamics within each cortical attention network and between the networks as a whole, in healthy controls and in patients with right hemisphere damage and visual neglect, a common and disabling condition that deeply affects attention functions. We shall use non-invasive magneto-encephalography (MEG), which measure neuronal activity with excellent temporal resolution and wide spatial coverage but with lower spatial precision compared with intracerebral recordings. The results will reveal the pathological alterations in attention networks' dynamics, consequent on right hemisphere lesions. Concomitantly with intracerebral and MEG recordings, we shall record two behavioral measures – manual response times and eye movements. Manual response times will be collected while participants perform cued detection tasks and maintain central fixation. We shall also obtain high-resolution tracking of eye movements to monitor fixation and explore microsaccades. Microsaccades are small, automatic eye movements occurring during fixation, which have been closely connected to attention for perceptual events, and in particular to stimulus-dependent orienting of attention. The data will provide complementary measures of attentional modulation of behavior, yet unexplored in neglect patients. A unified interpretation of the multi-modal data collected will be provided by building comprehensive models of human visual attention (WP3), using two state-of-the-art modeling approaches: Graph theoretical analysis and behavioral dynamic causal modeling (bDCM). The relation of ocular responses with manual response times and with structural and functional brain measures will thus provide a novel and rich picture of the anatomical and functional neural bases of attention and its behavioral correlates. Hence, the insights gained through these innovative approaches will extend our knowledge on attention processes in health and disease. Our results will have the potential to lead to the development of better rehabilitation strategies, which will address dramatic societal issues such as the social reinsertion of stroke patients.