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Géométrie hyperbolique effective et triangulations idéales canoniques en dimension trois
Géométrie hyperbolique effective et triangulations idéales canoniques en dimension trois
We study certain decompositions of M into ideal polyhedra, where M is a cusped hyperbolic 3-manifold. A result of Epstein and Penner states that such a decomposition exists: in particular, the so-called Delaunay decomposition, which is canonical in a geometric sense. In Chapter 1, we find the Delaunay decomposition for M a punctured-torus bundle over the circle. The method is to ``guess'' the combinatorics of the decomposition, then find positive dihedral angles for its combinatorial polyhedra: by a theorem of Rivin, any critical point of the volume functional in the deformation space of dihedral angles gives the hyperbolic metric. The inequalities involved in showing that such a critical point exists also imply that the decomposition is indeed Delaunay. In Chapter 2, we extend the method to certain link complements (notably, 2-bridge links). In Chapter 3 we extend it to convex cores of quasifuchsian punctured-torus groups (here the decomposition is infinite, and has some non-polyhedral pieces). As a corollary, we reprove the Pleating Lamination Theorem for punctured-torus groups. In Chapter 4, we partially extend the method to arborescent link complements: without finding critical points, we characterize hyperbolic arborescent links. In Chapter 5, extending a proposition of Chapter 3, we show that certain Laurent polynomials, which generalize the Markoff numbers, have only positive coefficients.; Nous étudions certaines décompositions de M en polyèdres idéaux, où M est une variété hyperbolique à pointe(s), de dimension 3. Par un théorème d'Epstein et Penner, il existe une telle décomposition, dite ``de Delaunay'', canonique en un sens géométrique. Au chapitre 1 nous trouvons la décomposition de Delaunay quand M fibre sur le cercle avec pour fibre un tore percé. La méthode consiste à ``deviner'' la combinatoire de la décomposition, puis à trouver des angles dièdres positifs pour ses polyèdres combinatoires : un théorème de Rivin dit que tout point critique de la fonctionelle volume dans l'espace de déformation des angles dièdres fournit la métrique hyperbolique. Les inégalités établies pour montrer l'existence d'un tel point critique permettent alors de vérifier que la décomposition est bien de Delaunay. Au chapitre 2 nous étendons la méthode à certains complémentaires d'entrelacs (entrelacs à 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l'étendons aux coeurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore percé (la décomposition est alors infinie, et certaines pièces ne sont pas des polyèdres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du théorème des laminations de plissage pour le tore percé. Au chapitre 4, nous étendons partiellement la méthode aux complémentaires d'entrelacs arborescents : sans trouver de point critique, nous caractérisons les entrelacs arborescents hyperboliques. Au chapitre 5, qui éclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynômes de Laurent, qui généralisent les nombres de Markoff, n'ont que des coefficients positifs.
- Université Paris Diderot France
Hyperbolic geometry, Quasifuchsian groups, Hyperbolic volume, Pleating laminations, Arborescent links, Géométrie hyperbolique, Groupes quasi-fuchsiens, Triangulations, Volume hyperbolique, Laminations de plissage, Entrelacs arborescents, [MATH]Mathematics [math]
Hyperbolic geometry, Quasifuchsian groups, Hyperbolic volume, Pleating laminations, Arborescent links, Géométrie hyperbolique, Groupes quasi-fuchsiens, Triangulations, Volume hyperbolique, Laminations de plissage, Entrelacs arborescents, [MATH]Mathematics [math]
- Université Paris Diderot France
We study certain decompositions of M into ideal polyhedra, where M is a cusped hyperbolic 3-manifold. A result of Epstein and Penner states that such a decomposition exists: in particular, the so-called Delaunay decomposition, which is canonical in a geometric sense. In Chapter 1, we find the Delaunay decomposition for M a punctured-torus bundle over the circle. The method is to ``guess'' the combinatorics of the decomposition, then find positive dihedral angles for its combinatorial polyhedra: by a theorem of Rivin, any critical point of the volume functional in the deformation space of dihedral angles gives the hyperbolic metric. The inequalities involved in showing that such a critical point exists also imply that the decomposition is indeed Delaunay. In Chapter 2, we extend the method to certain link complements (notably, 2-bridge links). In Chapter 3 we extend it to convex cores of quasifuchsian punctured-torus groups (here the decomposition is infinite, and has some non-polyhedral pieces). As a corollary, we reprove the Pleating Lamination Theorem for punctured-torus groups. In Chapter 4, we partially extend the method to arborescent link complements: without finding critical points, we characterize hyperbolic arborescent links. In Chapter 5, extending a proposition of Chapter 3, we show that certain Laurent polynomials, which generalize the Markoff numbers, have only positive coefficients.; Nous étudions certaines décompositions de M en polyèdres idéaux, où M est une variété hyperbolique à pointe(s), de dimension 3. Par un théorème d'Epstein et Penner, il existe une telle décomposition, dite ``de Delaunay'', canonique en un sens géométrique. Au chapitre 1 nous trouvons la décomposition de Delaunay quand M fibre sur le cercle avec pour fibre un tore percé. La méthode consiste à ``deviner'' la combinatoire de la décomposition, puis à trouver des angles dièdres positifs pour ses polyèdres combinatoires : un théorème de Rivin dit que tout point critique de la fonctionelle volume dans l'espace de déformation des angles dièdres fournit la métrique hyperbolique. Les inégalités établies pour montrer l'existence d'un tel point critique permettent alors de vérifier que la décomposition est bien de Delaunay. Au chapitre 2 nous étendons la méthode à certains complémentaires d'entrelacs (entrelacs à 2 ponts notamment). Au chapitre 3 nous l'étendons aux coeurs convexes de groupes quasi-fuchsiens du tore percé (la décomposition est alors infinie, et certaines pièces ne sont pas des polyèdres). Nous obtenons ainsi une nouvelle preuve du théorème des laminations de plissage pour le tore percé. Au chapitre 4, nous étendons partiellement la méthode aux complémentaires d'entrelacs arborescents : sans trouver de point critique, nous caractérisons les entrelacs arborescents hyperboliques. Au chapitre 5, qui éclaire un passage du chapitre 3, nous montrons que certains polynômes de Laurent, qui généralisent les nombres de Markoff, n'ont que des coefficients positifs.