Diese Arbeit bezieht sich auf die Arbeit von \textit{P. Erdős} [Ann. Math. Mon. 53, 248-250 (1946; Zbl 0060.34805)]. Die originale Fragestellung wurde hier in einer verallgemeinerten Form aufgeschrieben: Sei eine Punktmenge \(P=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\}\) in einem metrischen Raum \(M\supseteq P\) gegeben. Die Aufgabe ist die Bestimmung (oder die Abschätzung) des Maximums \(f^M(n)\) des Vorkommens einer gegebenen Entfernung bzw. der kleinsten Zahl \(g^M(n)\) verschiedener Entfernungen in einer Menge \(P\), wobei \(f^M(n) = \max\max_{\alpha>0}\mid\{p_i,p_j\}:d(p_i,p_j)=\alpha|\) bzw. \(g^M(n) = \min\mid\{d(p_i,p_j):1\leq i2\) sind, und \(P\) auf einer Sphäre \(S^{d-1}\) liegt, so existiert immer eine Konstante \(c_d\), womit die folgende Abschätzung \[ g^S(n)= g(P) \leq c_4 {n\over\log\log n} \text{ falls } d=4 \text{ bzw. } g^S(n) = g(P) \leq c_dn^{2/(d-2)} \text{ falls } d>4 \] gilt. 2. Wenn \(n\) eine willkürliche natürliche Zahl ist, so existiert immer eine Konstante \(c\), wobei eine Menge \(P\) aus \(n\) Punkten in der Ebene -- in einer allgemeinen Lage -- so gegeben werden kann, daß die folgende Abschätzung \(g(P)\leq n 2^{c\sqrt{\log n}}\) gilt. 3. Zu jedem \(C>0\) gehört je eine ganze Zahl \(n_0=n_0(C)\) so, daß mindestens \(C_n\) Vektoren in der Ebene durch jede Menge \(P\) aus \(n\) Punkten (in einer allgemeinen Lage) bestimmt werden, falls \(n\geq n_0\) ist. 4. Zu einer willkürlichen Zahl \(\varepsilon>0\) gehört die Zahl \(C=C(\varepsilon)\) mit der folgenden Eigenschaft: Falls die Menge \(P\) der \(C_n\) Punkte auf einem Kreisbereich vom Radius \(n\) eingelagert werden kann, wobei die Entfernungen jeder beiden Punkte nicht kleiner als 1 sind, so -- zu jedem Winkel \(\alpha(0 \leq \alpha \leq 2\pi)\) -- existieren drei Punkte von \(P\), die einen solchen Winkel bestimmen, dessen Größe sich von \(\alpha\) höchstens mit \(\varepsilon\) unterscheidet.