This paper studies boundary-value problem without initial conditions for the linear non-homogeneous second-order hyperbolic equation appearance \[u_{tt}-a^{2}u_{xx}=f(x,t),0\leq x\leq \pi ,0\leq t\leq T, u(0,t)=u(\pi ,t)=0, 0\leq t\leq T.\] Using the methods of the theory of differential equations in partial derivatives and methods of the theory of integral equations, for arbitrary functions \[\mu (z)\in C^{1}(\mathbf{R})\] the exact solution of the indicated problem is constructed as \[u(x,t)=u^{0}(x,t)+\tilde{u}(x,t),\] where \[u^{0}(x,t)= \frac{1}{2a}\int_{at-x}^{at+x}\mu (\alpha )d\alpha\] – the solution of the homogeneous equation and \[\tilde{u}(x,t)= \frac{1}{2a}\int_{0}^{t}d\tau \int_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau)} f(\xi ,\tau )d\xi\] – a particular solution of the non-homogeneous equation. New existence conditions of the indicated problem are established. The classes of functions \[B_{0}^{-} =\left \{ \mu :\mu (z) =-\mu (-z)=\mu (\pi -z)\right \}, B^{-}=\left \{ f:f(x,t)=f(\pi -x,t) =-f(-x,t)\right \},\] in which there is a classical solution of the linear boundary-value problem without initial conditions for the second order hyperbolic equations are discriminated. Based on the results operator A, which translates the class of functions \[B^{-}=\left \{ f:f(x,t)=f(\pi -x,t) =-f(-x,t)\right \}\] in itself was built. This allows using it in the construction of approximate computations of the solution of boundary-value problems for the quasi-linear hyperbolic equations. The results are beginning of the boundary-value problems study without initial conditions for the second order hyperbolic equations in form \[u_{tt}-a^{2}u_{xx}=f(x,t,u_{t},u_{x}).\] The proposed method of construction of the solution can be applied also to solve the semi-linear boundary-value problems. 

Рассмотрена краевая задача без начальных условий для линейного неоднородного гиперболического уравнения второго порядка вида \[u_{tt}-a^{2}u_{xx}=f(x,t),0\leq x\leq \pi ,0\leq t\leq T, u(0,t)=u(\pi ,t)=0, 0\leq t\leq T.\] Используя методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории интегральных уравнений, для произвольной функции \[\mu (z)\in C^{1}(\mathbf{R})\] построено точное решение указанной задачи в виде \[u(x,t)=u^{0}(x,t)+\tilde{u}(x,t),\] где \[u^{0}(x,t)= \frac{1}{2a}\int_{at-x}^{at+x}\mu (\alpha )d\alpha\] – решение однородного уравнения, а \[\tilde{u}(x,t)= \frac{1}{2a}\int_{0}^{t}d\tau \int_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau)} f(\xi ,\tau )d\xi\] – частное решение неоднородного уравнения. Установлены новые условия существования решений указанной задачи. Выделены классы функций \[B_{0}^{-} =\left \{ \mu :\mu (z) =-\mu (-z)=\mu (\pi -z)\right \}, B^{-}=\left \{ f:f(x,t)=f(\pi -x,t) =-f(-x,t)\right \},\] в которых существует классическое решение линейной краевой задачи без начальных условий для гиперболического уравнения второго порядка. На основе установленных результатов построен оператор А, переводящий класс функций \[B^{-}=\left \{ f:f(x,t)=f(\pi -x,t) =-f(-x,t)\right \}\] в самого себя. Это позволяет использовать его при построении приближенных вычислений решения краевых задач для квазилинейных гиперболических уравнений. Полученные результаты являются началом изучения краевых задач без начальных условий для гиперболических уравнений второго порядка вида \[u_{tt}-a^{2}u_{xx}=f(x,t,u_{t},u_{x}).\] Предложенный метод построения решения можно применить также для решения полулинейных краевых задач. 

Розглянуто крайову задачу без початкових умов для лінійного неоднорідного гіперболічного рівняння другого порядку вигляду \[u_{tt}-a^{2}u_{xx}=f(x,t),0\leq x\leq \pi ,0\leq t\leq T, u(0,t)=u(\pi ,t)=0, 0\leq t\leq T.\] Використовуючи методи теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних і теорії інтегральних рівнянь, для довільної функції \[\mu (z)\in C^{1}(\mathbf{R})\] побудовано точний розв’язок вказаної задачі у вигляді \[u(x,t)=u^{0}(x,t)+\tilde{u}(x,t),\] де \[u^{0}(x,t)= \frac{1}{2a}\int_{at-x}^{at+x}\mu (\alpha )d\alpha\] – розв’язок однорідного рівняння, а \[\tilde{u}(x,t)= \frac{1}{2a}\int_{0}^{t}d\tau \int_{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau)} f(\xi ,\tau )d\xi\] – частинний розв’язок неоднорідного рівняння. Встановлено нові умови існування розв’язків вказаної задачі. Виділено класи функцій \[B_{0}^{-} =\left \{ \mu :\mu (z) =-\mu (-z)=\mu (\pi -z)\right \}, B^{-}=\left \{ f:f(x,t)=f(\pi -x,t) =-f(-x,t)\right \},\] у яких існує класичний розв’язок лінійної крайової задачі без початкових умов для гіперболічного рівняння другого порядку. На основі встановлених результатів побудовано оператор А, який переводить клас функцій \[B^{-}=\left \{ f:f(x,t)=f(\pi -x,t) =-f(-x,t)\right \}\] у самого себе. Це дає змогу використовувати його при побудові наближених обчислень розв’язку крайових задач для квазілінійних гіперболічних рівнянь. Отримані результати є початком вивчення крайових задач без початкових умов для гіперболічних рівнянь другого порядку вигляду \[u_{tt}-a^{2}u_{xx}=f(x,t,u_{t},u_{x}).\] Запропонований метод побудови розв’язку можна застосувати також для розв’язування напівлінійних крайових задач.