We substantiate the structure of the efficient numerical axis segment an active experiment on which allows finding estimates of the coefficients fornonlinear terms of univariate polynomial regression with high accuracy using normalized orthogonal Forsyth polynomials with a sufficiently smallnumber of experiments. For the case when an active experiment can be executed on a numerical axis segment that does not satisfy these conditions, wesubstantiate the possibility of conducting a virtual active experiment on an efficient interval of the numerical axis. According to the results of the experiment, we find estimates for nonlinear terms of the univariate polynomial regression under research as a solution of a linear equalities system withan upper non-degenerate triangular matrix of constraints. Thus, to solve the problem of estimating the coefficients for nonlinear terms of univariatepolynomial regression, it is necessary to choose an efficient interval of the numerical axis, set the minimum required number of values of the scalarvariable which belong to this segment and guarantee a given value of the variance of estimates for nonlinear terms of univariate polynomial regressionusing normalized orthogonal polynomials of Forsythe. Next, it is necessary to find with sufficient accuracy all the coefficients of the normalized orthogonal polynomials of Forsythe for the given values of the scalar variable. The resulting set of normalized orthogonal polynomials of Forsythe allows us to estimate with a given accuracy the coefficients of nonlinear terms of univariate polynomial regression in an arbitrary limited active experiment: the range of the scalar variable values can be an arbitrary segment of the numerical axis. We propose to find an estimate of the constant and ofthe coefficient at the linear term of univariate polynomial regression by solving the linear univariate regression problem using ordinary least squaresmethod in active experiment conditions. Author and his students shown in previous publications that the estimation of the coefficients for nonlinearterms of multivariate polynomial regression is reduced to the sequential construction of univariate regressions and the solution of the correspondingsystems of linear equalities. Thus, the results of the paper qualitatively increase the efficiency of finding estimates of the coefficients for nonlinearterms of multivariate polynomial regression given by a redundant representation.

Обосновывается структура эффективного отрезка числовой оси, проведение на котором активного эксперимента для нахождения оценоккоэффициентов при нелинейных членах одномерной полиномиальной регрессии с помощью нормированных ортогональных полиномовФорсайта позволяет при достаточно малом количестве экспериментов находить оценки с высокой точностью. Для случая, когда активныйэксперимент может быть реализован на отрезке числовой оси, не удовлетворяющем этим условиям, обосновывается возможностьпроведения виртуального активного эксперимента на эффективном отрезке числовой оси, по результатам которого в результате решениясистемы линейных равенств с верхней треугольной невырожденной матрицей ограничений находятся оценки при нелинейных членахисследуемой одномерной полиномиальной регрессии. Таким образом, для решения задачи оценивания коэффициентов при нелинейныхчленах одномерной полиномиальной регрессии необходимо выбрать эффективный отрезок числовой оси, задать минимально необходимоеколичество значений скалярной переменной, принадлежащих этому отрезку и гарантирующих заданную величину дисперсии оценок принелинейных членах одномерной полиномиальной регрессии с использованием нормированных ортогональных полиномов Форсайта. Далеенеобходимо с достаточной точностью найти все коэффициенты нормированных ортогональных полиномов Форсайта для заданных значенийскалярной переменной. Полученный набор нормированных ортогональных полиномов Форсайта позволяет оценивать с заданной точностьюкоэффициенты при нелинейных членах одномерной полиномиальной регрессии при произвольном ограниченном активном эксперименте –область изменения значений скалярной переменной может быть произвольным отрезком числовой оси. Оценку постоянной и коэффициентапри линейном члене одномерной полиномиальной регрессии предлагается находить вследствие решения задачи линейной одномернойрегрессии с помощью стандартного метода наименьших квадратов в условиях активного эксперимента. В предыдущих публикациях автораи его учеников было показано, что оценивание коэффициентов при нелинейных членах многомерной полиномиальной регрессии сводится кпоследовательному построению одномерных регрессий и решению соответствующих систем линейных равенств. Таким образом,результаты статьи качественно повышают эффективность нахождения оценок коэффициентов при нелинейных членах многомернойполиномиальной регрессии, заданной избыточным описанием.

Обґрунтовується структура ефективного відрізка числової осі, проведення на якому активного експерименту для знаходження оцінок коефіцієнтів при нелінійних членах одновимірної поліноміальної регресії за допомогою нормованих ортогональних поліномів Форсайта дозволяєпри досить малій кількості експериментів знаходити оцінки з високою точністю. Для випадку, коли активний експеримент може бути реалізований на відрізку числової осі, що не задовольняє цим умовам, обґрунтовується можливість проведення віртуального активного експерименту на ефективному відрізку числової осі, за результатами якого в результаті розв’язання системи лінійних рівностей з верхньою трикутною невиродженою матрицею обмежень знаходяться оцінки при нелінійних членах досліджуваної одновимірної поліноміальної регресії.Таким чином, для розв’язання задачі оцінювання коефіцієнтів при нелінійних членах одновимірної поліноміальної регресії необхідно вибрати ефективний відрізок числової осі, задати мінімально необхідну кількість значень скалярної змінної, що належать цьому відрізку і гарантують задану величину дисперсії оцінок при нелінійних членах одновимірної поліноміальної регресії з використанням нормованих ортогональних поліномів Форсайта. Далі необхідно з достатньою точністю знайти всі коефіцієнти нормованих ортогональних поліномів Форсайтадля заданих значень скалярної змінної. Отриманий набір нормованих ортогональних поліномів Форсайта дозволяє оцінювати із заданоюточністю коефіцієнти при нелінійних членах одновимірної поліноміальної регресії при довільному обмеженому активному експерименті –область зміни значень скалярної змінної може бути довільним відрізком числової осі. Оцінку константи та коефіцієнта при лінійному членіодновимірної поліноміальної регресії пропонується знаходити внаслідок розв’язання задачі лінійної одновимірної регресії за допомогоюстандартного методу найменших квадратів в умовах активного експерименту. У попередніх публікаціях автора та його учнів було показано,що оцінювання коефіцієнтів при нелінійних членах багатовимірної поліноміальної регресії зводиться до послідовної побудови одновимірних регресій та розв’язання відповідних систем лінійних рівностей. Таким чином, результати статті якісно підвищують ефективність знаходження оцінок коефіцієнтів при нелінійних членах багатовимірної поліноміальної регресії, яка задана надлишковим описом.