publication . Preprint . 2016

Topological and homological properties of the orbit space of a compact linear Lie group with commutative connected component

Styrt, O. G.;
Open Access Russian
  • Published: 23 Jul 2016
Abstract
Comment: in Russian
Subjects
arXiv: Mathematics::Symplectic GeometryMathematics::Geometric TopologyMathematics::Differential Geometry
free text keywords: Mathematics - Algebraic Geometry, 17B10, 17B45, 20G05, 20G20, 22C05, 22E45, 22E47
Download from
34 references, page 1 of 3

Лемма 3.6. Допустим, что g ∈ Ω, A 6= E и P = P A ∪ P −A. Тогда среди неразло- жимых компонент множества P ⊂ g одна содержится в подпространстве g−A ⊂ g, а все остальные в подпространстве gA ⊂ g.

Поскольку gA ∩ g−A = 0, множество P ⊂ g разлагается на компоненты P A ⊂ P и P −A ⊂ P . Согласно следствию 3.4, множество (E − A)P ⊂ g неразложимо. При этом множество (E − A)P ⊂ g с точностью до нулей совпадает с множеством 2P −A ⊂ g.

Лемма 3.7. Предположим, что g ∈ Ω и P 6= P A ∪ P −A. Тогда r = 1, а множество P \ P A ⊂ g неразложимо. Кроме того, P \ P A = 3, dim P \ P A = 2 и P −A = 1.

По условию найдутся векторы λ1, λ2 ∈ P , такие что Aλ1 = λ2 и dim hλ1, λ2i = 2; в частности, A 6= E, r > 0. В силу следствия 3.4, A2 = E, P \ P A = (E−A)P = r+2, а любые ненулевые векторы множества (E − A)P ⊂ g в количестве не более r линейно независимы. Имеем Aλ2 = A2λ1 = λ1. Далее, λ1, λ2 ∈ P , λ2 6= ±λ1, а ненулевые векторы (E − A)λ1 = λ1 − λ2 и (E − A)λ2 = λ2 − λ1 линейно зависимы. Значит, 2 > r > 0, r = 1, P \ P A = r + 2 = 3.

Таким образом, Aλ1 = λ2 6= ±λ1, Aλ2 = λ1 6= ±λ2, λ1, λ2 ∈/ P A∪P −A и P \ P A = 3. Отсюда P \ P A = {λ, λ1, λ2}, где λ ∈ P и Aλ = ±λ.

Имеем λ ∈ (P \P A)∩(P A∪P −A) = (P \P A)∩P −A = P −A\P A = P −A\{0} ⊂ g−A\{0}. Поэтому P −A = P −A\{0} = (P \P A)∩P −A = 1. Ввиду соотношений λ ∈ g−A\{0} и rk(E − A) = r = 1, справедливо равенство (E − A)g = Rλ.

Заметим, что 0 6= λ1 − λ2 = (E − A)λ1 ∈ (E − A)g = Rλ, λ1 − λ2 ∈ Rλ \ {0}. Отсюда P \ P A = hλ, λ1, λ2i = hλ, λ1i = hλ, λ2i = hλ1, λ2i. Значит, P \ P A = {λ, λ1, λ2} ⊂ g неразложимое множество, причём dim P \ P A = dim hλ1, λ2i = 2.

Следствие 3.5. Предположим, что g ∈ Ω. Тогда подмножество P \ P A ⊂ P \ {0} содержится в некоторой неразложимой компоненте множества P \ {0} ⊂ g.

При A = E доказывать нечего. В случае же A 6= E достаточно воспользоваться леммами 3.6 и 3.7.

Следствие 3.6. Предположим, что g ∈ Ω, а также A 6= E. Тогда подмножество P ′ := λ ∈ P : (E − g)Vλ 6= 0 ⊂ P содержится в одной из неразложимых компонент множества P \ {0} ⊂ g. В частности, P ′ ⊂ P \ {0}. Согласно следствию 3.4, P ′ ⊂ P \ P A. Осталось применить следствие 3.5.

Предложение 3.4. Если g ∈ Ω и A = E, то все изотипные компоненты Vλ ⊂ V (λ ∈ P ), кроме, быть может, одной, содержатся в подпространстве V g ⊂ V .

Пусть Q1, . . . , Qp ⊂ P (p ∈ N) неразложимые компоненты множества P \ {0} ⊂ g.

p Имеем P \ {0} = F Ql ⊂ P . Положим Vl := L Vλ ⊂ V (l = 1, . . . , p).

l=1 λ∈Ql

В записи V0 нижний индекс означает вес 0 ∈ g; между тем, в ряде случаев нам будет удобно понимать этот индекс и как целое неотрицательное число.

34 references, page 1 of 3
Powered by OpenAIRE Research Graph
Any information missing or wrong?Report an Issue