Topological and homological properties of the orbit space of a compact linear Lie group with commutative connected component

Preprint Russian OPEN
Styrt, O. G.;
(2016)
  • Subject: 17B10, 17B45, 20G05, 20G20, 22C05, 22E45, 22E47 | Mathematics - Algebraic Geometry
    arxiv: Mathematics::Differential Geometry | Mathematics::Geometric Topology | Mathematics::Symplectic Geometry

The problem in question is whether the quotient space of a compact linear group is a topological manifold and whether it is a homological manifold. In the paper, the case of an infinite group with commutative connected component is considered.
  • References (34)
    34 references, page 1 of 4

    Лемма 3.6. Допустим, что g ∈ Ω, A 6= E и P = P A ∪ P −A. Тогда среди неразло- жимых компонент множества P ⊂ g одна содержится в подпространстве g−A ⊂ g, а все остальные в подпространстве gA ⊂ g.

    Поскольку gA ∩ g−A = 0, множество P ⊂ g разлагается на компоненты P A ⊂ P и P −A ⊂ P . Согласно следствию 3.4, множество (E − A)P ⊂ g неразложимо. При этом множество (E − A)P ⊂ g с точностью до нулей совпадает с множеством 2P −A ⊂ g.

    Лемма 3.7. Предположим, что g ∈ Ω и P 6= P A ∪ P −A. Тогда r = 1, а множество P \ P A ⊂ g неразложимо. Кроме того, P \ P A = 3, dim P \ P A = 2 и P −A = 1.

    По условию найдутся векторы λ1, λ2 ∈ P , такие что Aλ1 = λ2 и dim hλ1, λ2i = 2; в частности, A 6= E, r > 0. В силу следствия 3.4, A2 = E, P \ P A = (E−A)P = r+2, а любые ненулевые векторы множества (E − A)P ⊂ g в количестве не более r линейно независимы. Имеем Aλ2 = A2λ1 = λ1. Далее, λ1, λ2 ∈ P , λ2 6= ±λ1, а ненулевые векторы (E − A)λ1 = λ1 − λ2 и (E − A)λ2 = λ2 − λ1 линейно зависимы. Значит, 2 > r > 0, r = 1, P \ P A = r + 2 = 3.

    Таким образом, Aλ1 = λ2 6= ±λ1, Aλ2 = λ1 6= ±λ2, λ1, λ2 ∈/ P A∪P −A и P \ P A = 3. Отсюда P \ P A = {λ, λ1, λ2}, где λ ∈ P и Aλ = ±λ.

    Имеем λ ∈ (P \P A)∩(P A∪P −A) = (P \P A)∩P −A = P −A\P A = P −A\{0} ⊂ g−A\{0}. Поэтому P −A = P −A\{0} = (P \P A)∩P −A = 1. Ввиду соотношений λ ∈ g−A\{0} и rk(E − A) = r = 1, справедливо равенство (E − A)g = Rλ.

    Заметим, что 0 6= λ1 − λ2 = (E − A)λ1 ∈ (E − A)g = Rλ, λ1 − λ2 ∈ Rλ \ {0}. Отсюда P \ P A = hλ, λ1, λ2i = hλ, λ1i = hλ, λ2i = hλ1, λ2i. Значит, P \ P A = {λ, λ1, λ2} ⊂ g неразложимое множество, причём dim P \ P A = dim hλ1, λ2i = 2.

    Следствие 3.5. Предположим, что g ∈ Ω. Тогда подмножество P \ P A ⊂ P \ {0} содержится в некоторой неразложимой компоненте множества P \ {0} ⊂ g.

    При A = E доказывать нечего. В случае же A 6= E достаточно воспользоваться леммами 3.6 и 3.7.

    Следствие 3.6. Предположим, что g ∈ Ω, а также A 6= E. Тогда подмножество P ′ := λ ∈ P : (E − g)Vλ 6= 0 ⊂ P содержится в одной из неразложимых компонент множества P \ {0} ⊂ g. В частности, P ′ ⊂ P \ {0}. Согласно следствию 3.4, P ′ ⊂ P \ P A. Осталось применить следствие 3.5.

  • Similar Research Results (2)
  • Metrics
    No metrics available
Share - Bookmark