Eine praktische Anwendung von CMC-Flächen in der Bionik

Doctoral thesis German OPEN
Apeltauer, Christian (2011)
  • Publisher: Universität Tübingen
  • Subject: Konstante mittlere Krümmung , Differentialgeometrie , Flüssigkeitsoberfläche , Wasseroberfläche , Bionik | 510 | CMC , Differential geometry , Boundary surface , Bionics

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den theoretischen Grundlagen für die Entwicklung von Oberflächen, die unter Wasser möglichst lange eine Luftschicht an sich halten können. Ein natürliches Vorbild für solche Oberflächen ist die Pflanze Salvinia molesta; technisch interessieren solche Oberflächen zur Verringerung des Wasserwiderstandes von Schiffen und als Schutz vor Besiedlung durch Wasserorganismen. Wichtigste Gleichung bei der Entwicklung solcher Oberflächen ist die CMC--Gleichung, wobei hier von Neumannsche Randbedingungen zu erfüllen sind. Nach einer Einführung in die Problematik wird eine Übersicht über rotationssymmetrische Lösungen des Problems gegeben. Es folgt eine Auseinandersetzung mit der Lösbarkeit des Problems für zweidimensionale Gitter von Säulen. Es wird ein Algorithmus angegeben, an Hand dessen vorhergesagt werden kann, ob eine Lösung des Problems existiert oder nicht (praktisch also, ob sich für ein gegebenes Säulengitter eine Luftschicht ausbildet). Ebenso wird die Frage untersucht, ob diese Lösungen mechanisch stabil und persistent (d. i. stabil gegen Diffusionsprozesse) sind. Weiter wird ein Satz über die Form der CMC--Fläche gegeben, welcher als Ausgangspunkt für kompliziertere Formen des lufthaltenden Festkörpers wie zum Beispiel ein Gitter von Kegeln dienen kann. Zum Abschluß wird ein Ansatz skizziert wie die Perronsche Methode, die Existenz harmonischer Funktionen zu vorgegebenen Randwerten zu zeigen, auf das CMC--Problem übertragen werden kann. This thesis aims to provide a theoretical basis for the development of technical surfaces capable of holding air layers when immersed into water. A natural example of such surfaces is the plant Salvinia molesta. Such surfaces are of technical interest because they provide drag reduction and anti fouling. The most important equation with respect to such surfaces is the CMC equation; in the present case von Neumann boundary condition are to be fullfied. After an introduction to the field of problem a survey of axially symmetrical solutions of the CMC equation is given, followed by a discussion of the solvability of the problem regarding two dimensional lattices of pillars. An algorithm is introduced determining whether a solution exists or not (that is, practically speaking, whether an air layer develops or not). Furthermore the question is discussed whether said solutions are mechanically stable and persistent (that is stable against dissolution by diffusion). A theorem will be provided describing the shape of CMC surfaces which could be used to consider more complicatedly shaped solids like a lattices of cones. Finally a way to applicate Perron's method to CMC surfaces is drafted.
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