Construction de déformations isomonodromiques par revêtements

Doctoral thesis French OPEN
Diarra , Karamoko;
(2011)
  • Publisher: HAL CCSD
  • Subject: [ MATH.MATH-AP ] Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP] | [ MATH.MATH-AG ] Mathematics [math]/Algebraic Geometry [math.AG] | espaces analytiques

Garnier system of rank N is a system of nonlinear differential equations. Local solutions of dimension N, parameterize the isomonodromic deformations of scalar differential equations of order 2 on the Riemann sphere with 2N + 3 Fuchsian singularities (N + 3 essential si... View more
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    1 Structures projectives singulières et équations de Riccati 1 1.1 Un survol ; notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Structures projectives singulières sur la surface de Riemann . . . . . . . . 4 1.2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Équations Fuchsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Feuilletages de Riccati Fuchsiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Correspondance de Riemann-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Classification pour les systèmes de Garnier (g, n) = (0, n) 19 2.1 Structure orbifolde sous-jacente à une équation fuchsienne E . . . . . . . 19 2.1.1 Structure orbifolde formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Structure orbifolde métrique et uniformisation . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 Structure orbifolde et équations fuchsiennes . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Solutions algébriques non élémentaires pour (g, n) = (0, 5) . . . . . . . . . 25 2.2.1 Existence des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Exposants (θ˜0, θ˜1, θ˜t1, θ˜t2, θ˜∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Solutions de Garnier pour monodromies réductibles infinies . . . . . . . . 31 2.4 Solutions algébriques du système de Garnier d'ordre 3 . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Pull-back de monodromies affines avec 6 pôles . . . . . . . . . . . 35 2.5 Système de Garnier d'ordre supérieur ou égal 4 . . . . . . . . . . . . . . . 36 Une solution algébrique du système de Granier est explicitement donnée par t1(u, t), t1(u, t), q1(u, t) et q2(u, t) avec monodromie ( 21 , 21 , 0, 0, 0) :

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