Dirac operators, gauge systems and quantisation

Doctoral thesis OPEN
Boeijink, J.;
(2014)
  • Publisher: [S.l. : s.n.]
  • Subject:
    acm: GeneralLiterature_REFERENCE(e.g.,dictionaries,encyclopedias,glossaries)
  • References (35)
    35 references, page 1 of 4

    1 Preliminaries 11 1.1 Proper group actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Symplectic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Kahler geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Almost complex manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Complex manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Kahler manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4 Introduction to quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 A short history of quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.2 Dolbeault-Dirac quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2 Quantisation of the cotangent bundle 41 2.1 The Kahler structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Geodesic completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Kodaira's vanishing theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 Dolbeault-Dirac quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.A Example: SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.A.1 Proof of Proposition 2.A.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3 The cotangent bundle of a maximal torus 79 3.1 Some Sobolev theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2 Quantisation of T T and its principal stratum . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Weyl group action on maximal torus . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.2 Weyl group action on T T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2.3 The strati cation of T T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.3 The Dolbeault-Dirac operator on the quotient . . . . . . . . . . . . 94 3.4 Principal strata on compact manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    4 Quantisation commutes with reduction 105 4.1 Quantisation after reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2 Reduction after quantisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    5 Preliminaries 119 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2.1 Fibre bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2.2 Principal bre bundles and (classical) gauge theories . . . . 124 5.2.3 Conjugate modules and vector bundles . . . . . . . . . . . . 128 5.2.4 Covering maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2.5 Spectral triples and Kasparov modules . . . . . . . . . . . . 132

    6 Almost-commutative manifolds as a KK-product 135 6.1 The internal space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2 The product space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.3 The Kasparov product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    7 Principal and gauge modules 143 7.1 Real nite spectral triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2 Principal modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.2.1 The gauge group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.3 Gauge modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Index 179 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Index of Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    [66] S. Lazzarini and T. Schucker. A farewell to unimodularity. Phys. Lett. B 510 (2001) 277{284.

    [67] J.-L. Lions and E. Magenes. Non-homogeneous boundary value problems and applications. Vol. I. Springer-Verlag, New York, 1972.

    [68] X. Ma and W. Zhang. Geometric quantization for proper moment maps. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 347 (2009) 389{394.

  • Metrics
Share - Bookmark

  • Download from
    Radboud Repository via NARCIS (Doctoral thesis, 2014)
  • Cite this publication