On étudie ici la géométrie sous-riemannienne sur une variété $M$ induite par une famille finie $F$ de champs de vecteurs satisfaisant la condition de Hörmander,ainsi que les opérateurs différentiels obtenus comme polynômes en les éléments de $F$. Un tel opérateur $D$ est hypoelliptique si, pour toute fonction lisse $f$, les solutions u de l’équation $Du=f$ sont, elles aussi, lisses. Une notion plus fine, celle des opérateurs hypoelliptiques maximaux, étend cette propriété en termes de régularité Sobolev, offrant un parallèle, en géométrie sous-riemannienne, aux opérateurs elliptiques.En 1979, Helffer et Nourrigat ont proposé une conjecture caractérisant l’hypoellipticité maximale, généralisant le théorème principal de régularité des opérateurs elliptiques. Cette conjecture a été récemment confirmée grâce à des outils de géométrie non commutative. Un élément central de ce travail est une généralisation naturelle en géométrie sous-riemannienne, introduite par Mohsen, du groupoïde tangent de Connes, dans lequel apparaissent tous les cônes tangents, ingrédients clés dans le travail de Helffer et Nourrigat. En collaboration avec Androulidakis et Yuncken, Mohsen a développé un calcul pseudodifférentiel dans ce contexte, introduisant notamment la notion de symbole principal. Ils obtiennent que l’inversibilité de ce symbole équivaut à l’hypoellipticité maximale, validant ainsi la conjecture.Cet exposé présentera les ingrédients et les grandes lignes de ces avancées novatrices.

We study here the sub-Riemannian geometry on a manifold $M$ induced by a finite family $F$ of vector fields satisfying the Hörmander condition, as well as the differential operators obtained as polynomials in the elements of $F$. Such an operator $D$ is hypoelliptic if, for any smooth function $f$, the solutions $u$ of the equation $Du=f$ are also smooth. A more refined notion, that of maximal hypoelliptic operators, extends this property in terms of Sobolev regularity, offering a parallel in sub-Riemannian geometry to elliptic operators.In 1979, Helffer and Nourrigat proposed a conjecture characterizing maximal hypoellipticity, generalizing the main regularity theorem for elliptic operators. This conjecture has recently been confirmed using tools from non-commutative geometry. A central element of this work is a natural generalisation in sub-Riemannian geometry, introduced by Mohsen, of the Connes tangent groupoid, in which appear all the tangent cones, key ingredients in the work of Helffer and Nourrigat. In collaboration with Androulidakis and Yuncken, Mohsen developed a pseudodifferential calculus in this context, introducing in particular the notion of principal symbol.They obtained that the invertibility of this symbol is equivalent to maximal hypoellipticity, thus validating the conjecture.This talk will present the ingredients and broad outlines of these innovative advances.