Dynamique des orbites fortement elliptiques

Doctoral thesis French OPEN
Lion , Guillaume;
(2013)
  • Publisher: HAL CCSD
  • Subject: intégrateurs variationnels | closed-form | Analytical theory | numerical methods | [SDU]Sciences of the Universe [physics] | [ INFO.INFO-MO ] Computer Science [cs]/Modeling and Simulation | geometric integrators | orbite fortement elliptique | [ MATH.MATH-DS ] Mathematics [math]/Dynamical Systems [math.DS] | Hansen-like coefficients | fonctions d’excentricité | [ SDU ] Sciences of the Universe [physics] | third-body | variational integrators | troisième corps | forme fermée | [INFO.INFO-MO]Computer Science [cs]/Modeling and Simulation | [MATH.MATH-DS]Mathematics [math]/Dynamical Systems [math.DS] | per- turbative methods | intégrateurs géométriques | méthodes perturbatives | Théorie analytique | satellite artificiel | highly elliptical orbit

Most of the orbits of artificial satellites around the Earth have relatively low eccentricities. The calculation of their trajectories is very well under control, either by means of numerical methods when it comes to focus on accuracy and comparing observations, or eith... View more
  • References (137)
    137 references, page 1 of 14

    1 Généralités 7 1.1 Problème des deux corps : quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Solution de l'équation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Géométrie de l'ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Caractéristiques de l'ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Orientation de l'ellipse dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Orbites elliptiques et fortement elliptiques (HEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Altitude du satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Vitesse du satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Intérêts des orbites fortement elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Orbites HEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Orbites de transfert géostationnaires (GTO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.3 Orbites HEO naturelles et accidentelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2 Modèle dynamique 27 2.1 Hiérarchie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Forces dissipatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.4 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Modèle dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Mouvement apparent de la Lune et du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Modèle du mouvement apparent de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2 Modèle du mouvement apparent du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3 Fonction perturbatrice du problème de troisième corps 43 3.1 Fonction perturbatrice de troisième corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Développement en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2 Développement en variables de Hill-Whittaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3 Développement en éléments orbitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Cas particulier : fonction perturbatrice du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.1 Développement en variables de Hill-Whittaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.2 Développement en éléments orbitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4 Principe de développement d'une théorie analytique pour les orbites HEO 55 4.1 Système hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.1 Hiérarchisation classique de l'hHamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.2 Hiérarchisation modifiée de l'Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.2 Principe de résolution du problème de troisième corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.1 Décomposition de l'Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.2 Nouvel Hamiltonien : transformée de Lie dépendante du temps . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.3 Calcul du générateur U dans le cas d'une dépendance temporelle . . . . . . . . . . . . 62 4.2.4 Détermination du générateur à courtes périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    4.3 Principe d'adaptation de la théorie du J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.1 Rappels de la théorie classique du J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.2 Principe d'adaptation de la théorie du J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.3 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    6 Problèmes numériques et fortes excentricités 117 6.1 Equation de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.2 Limitation des méthodes d'intégration numériques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2.1 Exemple numérique : l'oscillateur harmonique simple (OHS) . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2.2 Exemple du problème képlérien à forte excentricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.3 Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    7 Intégrateurs géométriques 131 7.1 Elements de mécanique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.1.1 Mécanique classique de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1.2 Invariances et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.1.3 Espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.1.4 Symplecticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.2 Mécanique géométrique discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.2.1 Mécanique lagrangienne des systèmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.2.2 Evolution dynamique dans l'espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.3 Intégrateurs variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3.1 Schémas d'intégrateurs variationnels d'ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.3.2 Intégrateur variationnel d'ordre 2 (N = 2 points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.3.3 Intégrateur variationnel d'ordre 4 (N = 3 points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    A Dérivées partielles 165 A.1 Eléments de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A.2 Dérivées partielles des éléments métriques (a;e;I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A.3 Dérivées partielles des fonctions (n0;h;c;s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 A.4 Dérivées partielles des anomalies (l;n;E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.5 Dérivées partielles des fonctions ar et ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.3.4 Intégrateur variationnel d'ordre 6 (N = 4 points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    7.4 Tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.4.1 Tests des schémas variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.4.2 Confrontation avec d'autres schémas numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.4.3 Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

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