Comportements en temps long et à grande échelle de quelques dynamiques de collision.

Doctoral thesis English OPEN
Reygner, Julien;
(2014)
  • Publisher: HAL CCSD
  • Subject: Système de particules | Propagation du chaos | long time behaviour | Particle system | Systèmes hyperboliques | [MATH.MATH-GM] Mathematics [math]/General Mathematics [math.GM] | [MATH.MATH-GM]Mathematics [math]/General Mathematics [math.GM] | [QFIN.PM] Quantitative Finance [q-fin]/Portfolio Management [q-fin.PM] | Comportement en temps long | [PHYS.COND.CM-SM] Physics [physics]/Condensed Matter [cond-mat]/Statistical Mechanics [cond-mat.stat-mech] | Long time behavior | thermal transport | [ MATH.MATH-GM ] Mathematics [math]/General Mathematics [math.GM] | Wasserstein distance | Distance de Wasserstein | Transport thermique | hyperbolic systems | [MATH.MATH-PR] Mathematics [math]/Probability [math.PR] | [MATH.MATH-AP] Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP] | propagation of chaos

This thesis contains three independent parts, each one of which is dedicated to the study of a particle system, following either a deterministic or a stochastic dynamics, and in which interactions only occur at collisions. Part I contains a numerical and theoretical stu... View more
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    39 references, page 1 of 4

    1 Introduction 1 1.1 Introduction de la Partie I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Introduction de la Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Introduction de la Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2 Thermodynamique du modèle d'échange complet 31 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 The deterministic CEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 The thermalised CEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.A Derivation of the expression of Lf, Ldr and Li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.B Computation of pairwise marginal statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3 États stationnaires hors de l'équilibre du modèle d'échange complet 47 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Model and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 General sketch of the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Two useful auxiliary considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 The sequence of observation times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6 Proof of Theorem 3.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.A A formal construction of the billiard process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.B Recurrence of the set Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    4 Propagation du chaos et comportement en temps long 93 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Probabilistic approximation of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Contraction of the Wasserstein distance between two solutions . . . . . . . . . . . 105 4.4 Convergence to equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.A Proof of Proposition 4.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.B Proof of Proposition 4.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    5 Grands systèmes stationnaires de particules 131 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.2 Stationary distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3 Expression and convergence of the Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.4 Completion of the proof of Theorem 5.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    6 Le modèle d'Atlas en champ moyen 145 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2 The mean-field Atlas model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3 The weighted capital measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.4 Capital distribution curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.5 Performance of diversity weighted portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.A Proof of Proposition 6.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.B Long time behaviour of the asymptotic capital measure . . . . . . . . . . . . . . . 173

    7 Interprétation probabiliste de systèmes paraboliques 181 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2 Mild solutions to the system of Fokker-Planck equations . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.3 The nonlinear martingale problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.4 The multitype rank-based particle system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

    8 Limite petit bruit de processus de diffusion interagissant à travers leur ordre 193 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.2 The two-particle case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.3 The rank-based case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.4 The order-based case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.A Proofs in the two-particle case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    9 Dynamique des particules collantes multitype et systèmes hyperboliques 225 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.2 Main definitions and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.3 The Multitype Sticky Particle Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.4 The uniform Lp stability estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.5 Construction of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 9.A Proofs of technical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 We now study ||Φ(x; t) − Φ(y; t)||1 for t ≥ t¯(y). Letting x′ := Φ(x; t¯(y)), y′ := Φ(y; t¯(y)) and using Proposition 9.3.16, this amounts to studying ||Φ(x′; t) − Φ(y′; t)||1 for t ≥ 0. By the definition of t¯, N(x′) = N(y′) = 0, so that λe(x′) = λe(y′). Hence, for all t ≥ 0, Lemma 9.3.10 yields

    [19] V. I. Bogachev, N. V. Krylov et M. Röckner : Elliptic and parabolic equations for measures. Uspekhi Mat. Nauk, 64(6(390)):5-116, 2009.

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