Eine holomorphe Untersuchung des verallgemeinerten Seiberg-Witten-Modulraumes für Gibbons-Hawking-Faserungen

Doctoral thesis English OPEN
Strokorb, Kirstin
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    1 Grundlagen 7 1.1 Kählergeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Hyperkählergeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Diferentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . 8 1.3 Gruppenwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Holomorphe Geradenbündel und Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2 Der Seiberg-Witten-Modulraum im Kähler-Fall 15 2.1 SpinC-Strukturen und Spinorbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Zusammenhänge auf den Spinorbündeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Die Wirkung der Eichgruppe auf den Zusammenhängen . . . . 19 2.3 Dirac-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Komplex-geometrische Beschreibung der Dirac-Operatoren . . . 23 2.4 Eine quadratische Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Die Seiberg-Witten-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Holomorphe Beschreibung des Modulraumes . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.1 Holomorphe Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.2 Der Seiberg-Witten-Modulraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3 Verallgemeinerte Seiberg-Witten-Gleichungen 37 3.1 Das lineare Modell der Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Gibbons-Hawking-Räume als Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 Beschreibung in Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2 Ein Beispiel von Eguchi und Hanson . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Ein nicht-linearer Dirac-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.1 Verallgemeinerung der kovarianten Ableitung . . . . . . . . . . 50 3.3.2 Verallgemeinerung der Cliford-Multiplikation . . . . . . . . . . 52 3.4 Verallgemeinerte Seiberg-Witten-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Die Wirkung der Eichgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.1.3 Die verallgemeinerte Weitzenböck-Formel . . . . . . . . . . . . 69

    Holomorphe Beschreibung des verallgemeinerten Modulraumes . . . . 77

    4.2.1 Komplexe Struktur auf dem verallgemeinerten Spinorbündel . . 77

    4.2.2 Holomorphie der verallgemeinerten Spinoren des Lösungsraumes 81

    4.2.3 Fallunterscheidung nach Sphären im Gibbons-Hawking-Raum . 82

    4.2.4 Algebraisch-geometrische Fallunterscheidung im Sphärenfall . . 92

    A Anhang 95 A.1 Konventionen zu Vektorbündeln und Darstellungen . . . . . . . . . . . 95 A.2 Konventionen zur Indizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

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