Une méthode de domaines fictifs pour la modélisation des structures rayonnantes tridimensionnelles

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Garces, Sylvain (1997)
  • Subject: Equations de Maxwell | Domaine fictif | Condition inf-sup | Différences finies | 510 | Maxwell equations | Fictitious domain | Inf-sup condition | Finite-difference time-domain

Une nouvelle méthode de domaines fictifs est proposée pour résoudre l'équation des ondes scalaires et les équations de Maxwell tridimensionnelles en régime temporel pour des obstacles à frontières bornées. Cette méthode consiste à prolonger l'inconnue à l'intérieur des obstacles et à introduire une nouvelle inconnue définie sur les frontières des objets diffractants. Cette nouvelle inconnue s'interprète comme un multiplicateur de Lagrange. Une relation de couplage entre l'onde scalaire ou électromagnétique et le multiplicateur de Lagrange permet d'imposer la condition aux limites de Dirichlet. Dans le cas des équations de Maxwell, le multiplicateur de Lagrange s'interprète aussi comme une densité surfacique de courant électrique sur les frontières métalliques. Deux maillages sont introduits pour définir le problème discret: un maillage volumique de type différences finies et un maillage surfacique conforme des frontières métalliques de type équation intégrale. L’ intersection de ces deux maillages permet de calculer dans le cas discret le couplage entre l'onde et le multiplicateur de Lagrange. Le schéma numérique obtenu est simple et stable sous une condition CFL classique. Le point théorique central de la méthode des domaines fictifs est la preuve d'une condition inf-sup uniforme qui apparaît comme une relation de compatibilité entre les deux maillages utilisés. La mise en œuvre numérique de la résolution des équations de Maxwell 3D en régime temporel par la méthode des domaines fictifs est décrite, et les résultats obtenus montrent l'efficacité de cette nouvelle technique de calcul numérique. We propose a new fictitious domain method to solve the scalar wave equation and the 3D Maxwell equations in time domain for obstacles whose boundaries are bounded. The basic ideas of this method are the extension of the unknown wave into the obstacles and the introduction of a new unknown which is defined on the boundaries of the obstacles and which is a Lagrange multiplier. We impose the Dirichlet boundary condition with a coupling law between the scalar or electromagnetic wave and the Lagrange multiplier. In the case of Maxwell equations, we interpret the Lagrange multiplier as the electric surface current density on the boundaries of the obstacles. We use two independent meshes to define the discrete problem: a regular 3D cubic lattice like in the normal Finite-Difference Time-Domain method, and a triangular surface patching of the metallic boundaries like in the Electric Field Integral Equation method. The intersection of these two meshes gives a simple coupling law between the wave and the Lagrange multiplier. We obtain a simple numerical scheme which is stable if a normal CFL condition is true. The main theoretical point is the proof of an uniform inf-sup condition which is a compatibility law between the two meshes. We describe the computer implementation of the fictitious domain method for the 3D Maxwell equations in time domain. Numerical results show the efficiency of this new numerical method.
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