Méthode d'étude des vibrations d'un système mécanique non basée sur le calcul de ses modes propres

Other literature type French OPEN
Champion-Réaud, Karine (2002)
  • Subject: Vibrations linéaires | Mode propre | Méthode de Le Verrier Souriau | Amortissement non classique | 620.1

Ce travail traite de la mise en œuvre et de la validation d'un méthode d'étude du mouvement de systèmes vibratoires non basée sur le calcul numérique de ses modes propres. Les instabilités liées au calcul des vecteurs propres sont ainsi évitées. Nous proposons d'abord une méthode de résolution des systèmes différentiels linéaires du premier ordre. Cette méthode met en œuvre essentiellement la notion d'adjuguée d'une matrice. Elle accompagne toujours la considération du polynôme caractéristique d'une matrice de la considération de sa matrice caractéristique adjuguée. Le seul travail véritablement numérique est alors concentré dans la résolution d'une seule équation différentielle dite équation différentielle caractéristique. Le reste de l'algorithme est uniquement composés d'opérations simples d'algèbre linéaire. Cette technique est ensuite généralisée au second ordre pour résoudre les systèmes différentiels inhérents à la mécanique. Elle permet le calcul de la réponse temporelle en vibration libre ou forcée d'un système mécanique linéarisé et s'applique sans aucune condition sur la matrice des amortissements telles que celle de Basile ou celle de Caughey. De même, les matrices de masses et de raideurs ne doivent pas nécessairement satisfaire des propriétés particulières comme la symétrie ou la positivité. Une fois la réponse temporelle obtenue, les premières fréquences du comportement vibratoire sont déterminées par une analyse de Fourier qui permet d'initialiser la mise en œuvre d'un algorithme du type Newton-Raphson pour préciser les racines du "polynôme caractéristique du second ordre". La précision sur les valeurs propres est ainsi augmentée. L'examen des colonnes de la matrice caractéristique adjuguée et de ses dérivées fournit les vecteurs propres associés aux fréquences propres calculées. Une validation de l'algorithme est réalisée en testant le parallélisme ou l'orthogonalité des différentes colonnes. This work deals with the development and the validation of a method aimed to analyse vibratory systems without calculating the eigenmodes. The instabiblities due to the eigenmodes is thus avoided. We start by introducing a method solving first order linear ordinary differential systems. This method essentially uses the notion of adjugate matrix. It always accompanies the consideration of the characteristic polynomial of a matrix of the consideration of its characteristic adjugate matrix. The only real numerical work is concentrated in the resolution of only one ordinary differential equation called the characteristic equation. The rest of the algorithm is composed of simple linear algebra operations. This method is then generalized to second order for solving ordinary differential systems of mechanics. It allows the calculation of the temporal response for free or forced vibrations of a linearized mechanical system and can be applied Whitout any assumption on damping matrix like Basile’s or Caughey’s. Likewise, the mass and the stiffness matrices must not necessary satisfy peculiar properties as symetriy or positiveness. Once the response is obtained, the first frequencies are determined by using a Fourier analysis that enables initializing an algorithm of Newton-Raphson type applied to find the roots of the ”second order characteristic polynomial”. The accuracy of the eigenvalues is thus enhanced. The columns of adjugate characteristic matrix and of its derivatives with respect to time give the eigenvectors associated to the calculated.eigenfrequencies. A validation is performed by testing the parallelism and the orthogonality of the different columns.
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